מקור תופעת המגנטיות
כידוע, כל מטען חשמלי יוצר שדה חשמלי מסביבו. אם מטען אחר נוכח בשדה זה, פועל עליו כוח חשמלי. סביב כל מטען חשמלי נע קיים גם שדה מגנטי. הוא גורם לכך שעל כל מטען נע אחר (למשל על חלקיקים טעונים הנעים בתוך מוליך כאשר זורם בו זרם חשמלי) יפעל כוח מגנטי.
איננו יכולים לענות על השאלה מדוע פועלים כוחות דחייה או משיכה בין מטענים חשמליים, אף על פי שפיזיקאים שואפים לפתור גם את הבעיה הזאת. אך מתברר שעל השאלה מדוע נוצר שדה מגנטי סביב מטען חשמלי נע בהחלט ניתן לענות.
אם בכדי שהשדה המגנטי יתקיים המטען צריך לנוע, הרי שמהירותו צריכה להיות הגורם המרכזי בבעיה. אנחנו יודעים שמהירות זה לא דבר אבסולוטי – היא משתנה ממערכת ייחוס אחת לאחרת. האם ייתכן כי תופעה פיזיקלית (במקרה שלנו – קיומו של השדה המגנטי והשפעתו על מטענים נעים) מותנית במערכת הייחוס שבוחר הצופה? ברור שלא.
על עקרון היחסות של איינשטיין
עוד משיעורי מכניקה קלאסית אנו יודעים כי חוקי המכניקה זהים עבור כל מערכות ייחוס אינרציאליות. הטענה הזאת ידועה גם בשם עקרון היחסות של גליליי, אותה הביע גלילאו גליליי במאה ה-17. בתחילת המאה ה-20 אלברט איינשטיין ניסח חוק כללי יותר לפיו לא רק חוקי המכניקה אלא כל חוקי הטבע, כולל חוקי האלקטרודינמיקה, זהים בכל מערכות הייחוס ההתמדיות. מדובר באקסיומה עליה מבוססת כל תורת היחסות הפרטית, וזה גם המפתח שיעזור לנו להבין את מקור תופעת המגנטיות.
נניח כי חלקיק הטעון במטען שלילי בגודל $q$ נע במהירות $v$ במקביל לתיל מתכתי שבו זורם זרם חשמלי ישר $I$ (איור 1). לשם פשטות נניח כי מהירות האלקטרונים הנעים בתיל זהה הן בגודל והן בכיוון למהירות החלקיק. המהירויות נמדדות ביחס למערכת ייחוס הצמודה אל התיל. נסמן מערכת ייחוס זו באות $O$.
איור 1
על המטען $q$ לא פועל כוח חשמלי כי המטען הכולל של התיל שווה לאפס, שכן מלבד האלקטרונים הטעונים שלילית, יש בתיל גם יונים הטעונים חיובית. ביחס למערכת $O$ אפשר להניח כי היונים נמצאים במנוחה ($v_{+}=0$). אך על המטען פועל כוח לורנץ $\mathbf{F}_{m}$, שאת גודלו ניתן למצוא באמצעות
\[|\mathbf{F}_{m}|=F_{m}=qvB\]כאשר $B$ – עוצמת השדה המגנטי בנקודה בה נמצא המטען $q$. כוח זה מאונך לוקטורים $\mathbf{B}$ ו-$\mathbf{v}$, כאשר לפי כלל יד שמאל כיוונו בכיוון התיל. אנו גם יודעים כי עוצמת השדה המגנטי $B$ פרופורציונית לזרם $I$ במוליך ונמצאת ביחס הפוך למרחק $r$ שבין המטען לבין המוליך:
\[B \sim \frac{I}{r}\]אבל עוצמת הזרם החשמלי פרופורציונית לצפיפות האלקטרונים $n$ ולמהירות האלקטרונים $v$:
\[I \sim nv\]לפיכך, גודל הכוח המגנטי:
\[F_{m} \sim \frac{q n v^2}{r}\]כעת נבחר מערכת ייחוס אחרת ונראה כיצד זה ישפיע על התצפיות שלנו. נבחר מערכת ייחוס הצמודה אל המטען $q$ ונסמן אותה כ-$O’$ (איור 2).
איור 2
המטען $q$ נח ביחס למערכת הזאת וגם האלקטרונים נחים ($v_{-}=0$) כי הנחנו שהמהירות שלהם שווה למהירות המטען. אולם התיל נע עם מהירות $v$ שמאלה ולכן גם היונים החיוביים נעים שמאלה במהירות זו ($v_{+}=-v$).
מפני שיחסית למערכת הייחוס $O’$ המטען $q$ נח, הכוח המגנטי לא יכול לפעול עליו. אז מה קרה לכוח $\mathbf{F}_{m}$ שפעל על המטען כאשר השתמשנו במערכת $O$? האם הכוח המגנטי נעלם רק מפני ששינינו את מערכת הייחוס? כמובן שלא. אז הכוח שגורם למטען להתקרב אל התיל כן קיים. אך מהו הכוח הזה? על מנת לענות על השאלה, נדון באחת מהמסקנות שנובעות מתורת היחסות הפרטית של איינשטיין.
תכונה אחת מדהימה של המרחב
לפני תורת היחסות של איינשטיין היה מקובל להניח כי המרחק בין שתי נקודות במרחב (למשל אורך של גוף) הינו גודל קבוע. קבוע במובן שזה גודל שלא משתנה כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת לאחרת. זה נשמע כל כך מובן מאליו, שאף אחד אפילו לא חשב לפקפק בטענה זו. איינשטיין היה הראשון שהחליט לבדוק את הטענה.
הוא הגיע למסקנה כי אורכו של גוף יכול להשתנות בכיוון תנועתו. אורך של גוף הנו מקסימלי כאשר הוא נח ביחס למערכת הייחוס הנבחרת; נסמן אורך זה $l_0$. אם הגוף נע עם מהירות $v$, האורך $l$ שלו קטן, והקשר בין $l$ ל-$l_0$ הוא כדלקמן:
כאשר $c$ – מהירות האור בריק. נציין בהזדמנות זו כי אחת מהנחות היסוד של תורת היחסות זה שמהירות האור קבועה בכל מערכות הייחוס ההתמדיות. נוסיף גם כי המהירות $c$ היא גבולית: לא קיימת מערכות ייחוס כזאת שביחס אליה גוף כלשהו נע במהירות הגדולה או השווה ל-$c$. היחס $v/c$ (וכמובן שגם היחס $v^2/c^2$) תמיד קטן מ-1.
המשוואה הקודמת מראה כי גוף שנע ביחס למערכת ייחוס מסוימת, קצר יותר מאותו הגוף במנוחה. העובדה הזאת מאפשרת לנו להבין איזה כוח פועל על המטען $q$ במערכת ייחוס $O’$.
שתי פנים של אותה התופעה
כאשר עוברים ממערכת ייחוס $O$ למערכת ייחוס $O’$ האורך של התיל קטן, אך שטח החתך $S$ שלו נשאר קבוע. לפיכך קטן גם הנפח של התיל השווה ל-$l S$ ולכן גדלה הצפיפות של החלקיקים, כלומר היונים החיוביים, בתיל. אם נסמן את צפיפות היונים במערכת $O$ בתור $n_{+}$ ובמערכת $O’$ בתור $n_{+}’$, הקשר ביניהם יהיה
\[n_{+}'=\frac{n_{+}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]אך בתיל שלנו יש גם חלקיקים הטעונים שלילית – אלקטרונים. נסמן את הצפיפות שלהם במערכות ייחוס $O$ ו-$O’$ בתור $n_{-}$ ו-$n_{-}’$ בהתאמה. במערכת הייחוס $O’$ האלקטרונים נחים בעוד שבמערכת הייחוס $O$ הם נעים במהירות $v$, לכן ניתן לכתוב
\[n_{-}=\frac{n_{-}'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]מכאן
\[n_{-}'=n_{-}\sqrt{1-v^2/c^2}\]אם כן, אנו רואים כי במערכת $O’$ צפיפות האלקטרונים קטנה בעוד שצפיפות היונים גדלה. זה אומר שבמערכת הייחוס הזאת התיל “נראה” טעון חיובית והוא מפעיל כוח חשמלי על המטען השלילי $q$ אשר מכוון כלפי עצמו, בדיוק כמו כוח לורנץ במערכת ייחוס $O$.
התקצרות האורך של גוף זאת לא התוצאה היחידה של תורת היחסות. כאשר עוברים ממערכת $O$ למערכת $O’$ משתנה גם האופן בו חולף הזמן – הזמן מתארך. משתנה גם הביטוי לכוח. אם ניקח בחשבון את כל השינויים הללו, נגיע למסקנה כי הכוח החשמלי במערכת ייחוס $O’$ זהה הן בגודל שלו והן בכיוון שלו לכוח המגנטי שפועל על המטען במערכת $O$. לכן התופעה הפיזיקלית עצמה לא השתנתה כאשר עברנו ממערכת ייחוס אחת לשנייה כפי שציפינו, בעוד שכוח לורנץ (במערכת $O$) “החליף פנים” והפך להיות (במערכת $O’$) כוח חשמלי.
כל הניתוח הלא פשוט שערכנו מראה כי אי אפשר להסביר את מקור התופעה המגנטית ללא תורת היחסות. מגנטיות, כמו שאומרים – תופעה רלטיביסטית.
מקסנה חשובה נוספת
ראינו כי במערכת ייחוס $O$ הכוח שפועל על המטען $q$ הינו בעל אופי מגנטי בלבד, בעוד שבמערכת $O’$ הכוח הינו בעל אופי חשמלי בלבד. בהתאמה אנו אומרים כי קיים שדה מגנטי (במערכת $O$) וכי קיים שדה חשמלי (במערכת $O’$). זה מוביל אותנו למסקנה אחת חשובה: כוחות חשמליים ומגנטיים – זה שני מושגים הצמודים זה אל זה כאשר התופעה הכוללת היא אלקטרומגנטיות. אילו המטען היה נע במהירות משתנה (מאיץ, מאיט או מבצע תנודות) או שבמוליך היה עובר זרם חילופין, השדה החשמלי והמגנטי כבר לא היו מופיעים בנפרד, אלא היה נוצר שדה אלקטרומגנטי אחיד. משוואות מקסוול מתארות בצורה מלאה את התופעות החשמליות והמגנטיות. התיאור, כצפוי, איננו תלוי במערכת הייחוס הנבחרת.
