כידוע, לתנועה מכוונת של מטען חשמלי קוראים זרם חשמלי. אנו נדון רק בזרם חשמלי העובר במוליך מתכתי. ישנם מספר גורמים אשר יכולים לצור זרם חשמלי:

1. שדה חשמלי (אלקטרוסטטי) אשר יגרום למטענים חיוביים לנוע בכיוון קווי שדה ולשליליים – בכיוון מנוגד. נסמן את וקטור השדה ב-$\vec{E_e}$.
2. כוחות שונים אשר אינם אלקטרוסטטיים במקור (למשל כוחות מכניים). בנוסף לכך, המטענים יכולים לקבל אנרגיה גם בתהליכים כימיים שונים ובדיפוזיה. אנו לא נבדיל בין גורמים אלו ונקרא להם כוחות חיצוניים ולשדה הכוחות הללו שדה חיצוני. וקטור השדה החיצוני יסומן ב-$\vec{E}_{\mathrm{ext}}$.

ניתן לאפיין שדה אלקטרוסטטי על ידי פוטנציאל. לפי ההגדרה, הפרש הפוטנציאלים שווה ליחס שבין העבודה שמבצע השדה בהעברת מטען מסוים לבין גודל המטען עצמו:

\[\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{W_e}{q} \tag{1}\]

ברור כי אם במהלך התנועה של המטען פועל עליו כוח חיצוני, העבודה הכוללת שווה:

\[W=W_e+W_{\mathrm{ext}} \tag{2}\]

כאשר $W_e$ – עבודת השדה האלקטרוסטטי, $W_{\mathrm{ext}}$ – עבודת השדות החיצוניים (שכאמור, אינם אלקטרוסטטיים).

אם נחלק כל אגף בגודל המטען המועבר, נקבל:

\[\frac{W}{q}=\frac{W_e}{q}+\frac{W_{\mathrm{ext}}}{q} \tag{3}\]

לגודל $\frac{W}{q}$ המסמל את היחס שבין העבודה הכוללת המתבצעת על המטען לבין גודל המטען קוראים מתח:

\[V=\frac{W}{q} \tag{4}\]

לגודל $\frac{W_{\mathrm{ext}}}{q}$ קוראים כא”מ (כוח אלקטרו מניע) למרות שזה לא כוח (כבר לפי היחידות אפשר לראות שזה לא ניוטונים). כא”מ ביחידות SI נמדד בוולטים:

\[\mathcal{E}=\frac{W_{\mathrm{ext}}}{q} \tag{5}\]

אם כן, אפשר לרשום את הקשר השלישי גם כך:

\[V=\varphi_1-\varphi_2+\mathcal{E} \tag{6}\]

במילים אחרות, המתח השורר בקטע של מוליך שווה לסכום הפרש הפוטנציאלים ולכא”מ בקטע זה. מפה אפשר לקבל כמה מקרים פרטיים:

1. אם קטע המוליך הינו אחיד ולא פועלים בו כוחות חיצוניים, הכא”מ שווה לאפס ולכן המתח שווה להפרש הפוטנציאלים:

   \[V_{\mathrm{uniform}}=\varphi_1 - \varphi_2 \tag{7}\]

2. במעגל חשמלי סגור המתח שווה לסכום האלגברי של כל הכא”מים. נוכיח זאת כך: נניח שיש לנו מעגל חשמלי סגור (למשל תיל מוליך המחובר לסוללה) ונניח שהמעגל הזה מורכב משלושה קטעים. אזי המתח בכל קטע:

   \[V_1=\varphi_1 - \varphi_2+\mathcal{E}_1, ~~~ V_2=\varphi_2 - \varphi_3+\mathcal{E}_2, ~~~ V_3=\varphi_3 - \varphi_1 + \mathcal{E}_3\]

   ברור כי העבודה הכוללת בהעברת מטען במעגל סגור שווה לסכום העבודות בכל הקטעים; לפיכך:

   \[V=V_1+V_2+V_3=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2+\mathcal{E}_3 \tag{8}\]

חוק אוהם לקטע אחיד של מוליך

ניזכר כי לפי ההגדרה, עוצמת הזרם החשמלי שווה לכמות המטען העוברת דרך שטח חתך של מוליך ביחידת זמן, כלומר

\[I=\frac{dq}{dt}\]

הרבה פעמים נוח להשתמש בגודל הנקרא צפיפות זרם המוגדר כך:

\[\vec{j}=\frac{I}{S} \hat{n} \tag{9}\]

כאשר $\hat{n}$ – וקטור יחידה שכיוונו הוא ככיוון תנועת המטענים החיוביים (מהפוטנציאל הגבוה לנמוך). אנו נראה בהמשך כיצד הגדרה זו תעזור לנו.

נניח כי יש לנו מוליך אחיד – למשל תיל מתכתי שלכל הנקודות שלו יש טמפרטורה זהה. חוק אוהם אומר את הדבר הבא – אם ניצור הפרש פוטנציאלים $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ בין קצות המוליך יזרום בו זרם חשמלי שעוצמתו $I$ תהיה פרופורציונית להפרש הפוטנציאלים:

\[I = G \Delta \varphi = \frac{1}{R} \Delta \varphi \tag{10}\]

ברור כי עבור אותו הפרש פוטנציאלים הזרם יהיה גדול יותר ככל ש-$G$ גדול יותר, לכן הגיוני לקרוא ל-$G$ בשם מוליכות חשמלית. לגודל ההפוך

\[R=\frac{1}{G}=\frac{\Delta \varphi}{I} \tag{11}\]

קוראים התנגדות חשמלית.

יש לשים לב כי חוק אוהם בדיוק כמו חוק הוק תקף רק במקרים מסוימים ואין זה חוק אוניברסלי. נדגיש כי מהות החוק היא ש-$G$ לא תלוי בהפרש הפוטנציאלים בדיוק כמו שקבוע הקפיץ לא תלוי בגודל הכוח שמושך את הקפיץ. למוליכים המקיימים את חוק אוהם קוראים מוליכים לינאריים (או אוהמיים). הרבה חומרים לא מתנהגים לפי חוק אוהם.

למה צריך כא"מ?

נתבונן במעגל חשמלי פשוט המורכב ממקור מתח ומנגד המחובר להדקי המקור שסומנו ב-a ו-b (איור 1).

איור 1

$\varphi_1$ בקשר (10) זה הפוטנציאל של הנקודה a, ו-$\varphi_2$ – הפוטנציאל של b. ברור שבכדי שהזרם יהיה קבוע הפרש הפוטנציאלים $\varphi_1 - \varphi_2$ צריך להיות קבוע. על מנת שזה יקרה, המטענים בהדקי הסוללה צריכים להיות קבועים בזמן, אף על פי שבכל שנייה מספר מסוים של אלקטרונים עוזב את ההדק b ואותו מספר אלקטרונים מגיע להדק a. מכאן שבתוך מקור המתח צריכים לפעול כוחות מסוימים שיעבירו תוך שנייה את כל האלקטרונים שהגיעו להדק a בחזרה אל ההדק b. הכוחות הללו צריכים להתגבר על כוחות הדחייה שמופעלים על האלקטרונים מצד ההדק השלילי (b), כלומר הכוחות צריכים להתגבר על השדה האלקטרוסטטי הנוצר בגלל אותם המטענים. מכאן נובע כי

הזרם החשמלי יזרום במעגל כל עוד יפעלו כוחות חיצוניים שידאגו להפרדת מטענים קבועה. הדבר דומה למה שקורה במזרקה – המים יוצאים מהפתחים ונופלים למטה בהשפעת כוח הכובד, כלומר האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת מים-כדה"א קטנה. המים נאספים באגן המזרקה שנמצא למטה. משם משאבה מיוחדת מזרימה את המים עוד פעם כלפי מעלה (מגדילה את האנרגיה הפוטנציאלית). ללא המשאבה המים היו פשוט נשארים למטה. מטען חשמלי בדיוק כמו המים לא יכול מעצמו להגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית – לשם כך נדרש מקור חיצוני וכא"מ בדיוק משחק את תפקיד המשאבה במעגלים חשמליים.

דוגמה לכא"מ פשוט

נניח שיש לנו טבעת מוליכה עם סדק $AB$ כמתואר באיור 2:

איור 2

באמצעות "פינצטה" דמיונית נעביר אלקטרונים מ-$A$ ל-$B$ דרך הסדק. אזי ב-$B$ יווצר עודף של מטען שלילי וב-$A$ – עודף של מטען חיובי (יונים חיוביים); כתוצאה מכך האלקטרונים ינועו בהשפעת השדה החשמלי מ-$B$ ל-$A$ דרך הטבעת. את הדרך מ-$A$ ל-$B$ הם כבר לא יעברו בהשפעת השדה החשמלי – פה כוח מכני של ה"פינצטה" גורר אותם כנגד השדה החשמלי שישאף להחזירם ל-$A$. במעגל החיצוני $BA$ רק הכוח החשמלי מבצע עבודה שמתבזבזת על חום. אבל על כך מפצה הכוח החיצוני בדמות הפינצטה שמושכת את האלקטרונים מההדק החיובי לשלילי, כנגד רצונם ה"טבעי" להישאר איפה שהפוטנציאל גבוה. השדה החיצוני בתוך הטבעת לא נחלש עם הזמן בדיוק הודות לכוחות החיצוניים – הכוח החשמלי מבזבז רק מה שהוא מקבל מהכוחות החיצוניים.

מעניין לבחון את התנהגות הפוטנציאל במעגל חשמלי כזה. בנקודה $A$ הפוטנציאל מגיע לערך המירבי והוא נחלש ככל שמתרחקים ממנה לשני הכיוונים (איור 3). האנרגיה הפוטנציאלית של אלקטרון שווה $U = e \varphi$ ומפני שלאלקטרון מטען שלילי, יש לה סימן שונה מזה של הפוטנציאל. מהלך $U$ מתואר בחלק ימין של האיור. בקטע $BA$ (החלק החיצוני של המעגל) האלקטרונים "מתגלגלים במורד הגבעה", ובקטע $AB$ – "מטפסים למעלה" הודות לכוחות החיצוניים.

איור 3

אם הנקודות $A$ ו-$B$ קרובות זו לזו, מהלך הפוטנציאל יהיה מאוד תלול (זה נקרא קפיצת פוטנציאל). ניתן לראות את הקפיצה החדה של הפוטנציאל בקטע $AB$ באיור. קפיצות כאלה מתרחשות, למשל, במקורות כא"מ כימיים. לאלקטרודה ולאלקטרוליט פוטנציאלים שונים ולכן בגבול ביניהם מתרחשת קפיצה של הפוטנציאל.

חוק אוהם לכל קטע של מוליך

נרצה כעת להגיע לחוק אוהם בדרך אחרת וגם להבין כיצד הוא יראה במקרה של קטע בלתי אחיד של מוליך (כלומר קטע מוליך בו פועלים כוחות חיצוניים). לשם כך נבטא את צפיפות הזרם $\vec{j}$ באמצעות מהירות הסחיפה $\vec{u}$ של האלקטרונים במוליך (המהירות הממוצעת של ענן האלקטרונים במוליך שמהווה את הזרם החשמלי).

נדמיין חתיכה גלילית של מוליך בעלת אורך $u$ ובעלת שטח חתך השווה ליחידה (איור 4). אותם המטענים העוברים ברגע נתון דרך הבסיס השמאלי של הגליל, יגיעו לאחר שנייה לבסיס הימני של הגליל (אורך הגליל שווה לדרך שהם עוברים בשנייה אחת). לפיכך, תוך שנייה דרך הבסיס הימני יעברו בדיוק כל המטענים שהיו בתוך הגליל.

איור 4

מטען העובר בשנייה אחת דרך שטח יחידה המאונך לכיוון הזרם זה בדיוק צפיפות הזרם כי $j=\frac{d q}{dt \cdot S} = \frac{d q}{1 \cdot 1}$. במילים אחרות, צפיפות הזרם כאן שווה (מבחינה מספרית) לגודל כל המטען הכלוא בתוך הגליל. מכיוון שאנו עוסקים באלקטרונים, המטען הכולל הזה הוא מספר האלקטרונים כפול $e$. נסמן את הצפיפות הנפחית של האלקטרונים (כמות האלטקרונים ליחידת נפח) ב-$n$ (קוראים לזה גם ריכוז האלקטרונים). אזי המטען הכולל הזה יהיה שווה ל-$u \cdot 1 \cdot e n$. אם הווקטורים $\vec{j}$ ו-$\vec{u}$ הם באותו כיוון, נוכל לרשום:

$$\vec{j}=e n \vec{u} \tag{12}$$

אם כן, גילינו כי צפיפות הזרם פרופורציונית למהירות הממוצעת של נושאי המטען. אך קשר זה לא מספיק. עלינו לברר כיצד תלוי הזרם בעוצמת השדה. בשביל זה עלינו לבטא את המהירות הממוצעת באמצעות עוצמת השדה במוליך. אם נקבל שצפיפות הזרם פרופורציונית לעוצמת השדה, אז גם עוצמת הזרם תהיה פרופורציונית לעוצמת השדה, ובכך נוכיח את חוק אוהם.

נמצא את המהירות הממוצעת של האלקטרונים במתכת. כידוע, אלקטרונים המואצים על ידי השדה מתנגשים מדי פעם ביונים של הסריג ובכך מעבירים ליונים את האנרגיה הקינטית שלהם. כתוצאה מכך האלקטרון צריך לאבד את כל המהירות שהייתה לו לפני ההתנגשות, אחרת בתום כל התנגשות הוא היה ממשיך לצבור אנרגיה והזרם היה צריך לגדול עם הזמן – דבר שלא קורה במציאות.
אם כן, המהירות ההתחלתית של אלקטרון מיד לאחר ההתנגשות היא $u_0=0$. תאוצת האלקטרון היא:

$$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{e \vec{E}}{m}$$

לכן המהירות הסופית שלו (כהרף עין לפני ההתנגשות הבאה) שווה:

$$\vec{u}_{\mathrm{max}}=\vec{a} \tau = \frac{e \vec{E}}{m} \tau$$

כאשר $\tau$ – זמן המהלך החופשי (הזמן הממוצע בין התנגשות להתנגשות). המהירות הממוצעת $\vec{u}$ שווה $\frac{1}{2} (\vec{u_0}+\vec{u}_{\mathrm{max}})$, כלומר:

$$\vec{u}= \frac{e \vec{E} \tau}{2 m}$$

נציב את $\vec{u}$ ב-(12) ונקבל:

$$\vec{j} = \frac{e^2 n \tau}{2 m} \vec{E} \tag{13}$$

כאן מקדם הפרופורציה נקרא מוליכות סגולית. נסמן אותו באות $\sigma$:

$$\sigma = \frac{e^2 n \tau}{2 m} \tag{14}$$

ונרשום את (13) בצורה:

קשר (14) מראה כי המוליכות הסגולית גדלה ככל שריכוז האלקטרונים גדל וקטנה ככל שמסת נושאי המטען גדלה. בנוסף לכך, מסתבר כי ניתן לבטא את המוליכות $G$ ב-(10) באמצעות $\sigma$:

$$G=\sigma \frac{S}{L}$$

קשר (15) נקרא גם חוק אוהם דיפרנציאלי. לעומת זאת, חוק אוהם היותר "מוכר" ($I R = \varphi_1 - \varphi_2$) נקרא חוק אוהם אינטגרלי. שמות אלה מדגישים את העובדה כי שני אגפי הנוסחה (15) מתייחסים לנקודה נתונה במוליך, בעוד שחוק אוהם "רגיל" מתייחס לקטע של מוליך לינארי.
בנוסף, מ-(15) נובע כי הקשר בין צפיפות הזרם בנקודה נתונה לעוצמת השדה באותה הנקודה הוא חד משמעי. לפיכך, בקטע צר של מוליך צפיפות הזרם תהיה גדולה מאשר בקטע עבה, ולכן גם עוצמת השדה שם תהיה גדולה יותר.

פיתחנו את חוק אוהם הדיפרנציאלי עבור שדה שרירותי, בלי קשר לסוגו. זה יכול להיות שדה אלקטרוסטטי, שדה חיצוני או שניהם יחד. אם בקטע של מוליך שורר שדה אלקטרוסטטי וגם חיצוני, נוכל בלי בעיה לכתוב את $\vec{E}$ בקשר (15) כסכום ווקטורי של השדה האלקטרוסטטי $\vec{E}_{e}$ והשדה החיצוני $\vec{E}_{\mathrm{ext}}$:

$$\vec{j}=\sigma (\vec{E}_{e}+\vec{E}_{\mathrm{ext}}) \tag{16}$$

נניח כי צפיפות הזרם, עוצמת השדות והמוליכות הסגולית הינם גדלים קבועים. נחלק את (16) ב-$\sigma$ ונכפיל סקלרית באלמנט אורך $\vec{\Delta l}$ של מוליך (בעל אותו כיוון כמו $\vec{j}$):

$$\frac{1}{\sigma} \vec{j} \cdot \vec{\Delta l} = \frac{1}{\sigma} j \Delta l = \frac{1}{\sigma S} I \Delta l = I \rho \frac{\Delta l}{S}$$

(כאשר $\rho$ זה פשוט הגודל ההפוך ל-$\sigma$ המסמל את ההתנגדות הסגולית של המוליך).

מכאן מקבלים:

$$I \rho \frac{\Delta l}{S} = \vec{E} \cdot \vec{\Delta l} + \vec{E}_{\mathrm{ext}} \cdot \vec{\Delta l}$$

נסכם את הביטוי הזה על כל אלמנטי אורך מזעריים $d l$ לאורך המוליך בין שתי נקודות שלו 1 ו-2, כלומר:

$$\int_{1 \to 2} I \rho \frac{d l}{S} = \int_{1 \to 2} \vec{E} \cdot \vec{d l} + \int_{1 \to 2} \vec{E}_{\mathrm{ext}} \cdot \vec{d l}$$

אם השדה הינו משמר (ניתן להגדיר עבורו פוטנציאל), אזי:

$$\int_{1 \to 2} \vec{E} \cdot \vec{d l} = \varphi_1 - \varphi_2$$

כמו כן, הגודל $\int_{1 \to 2} \rho \frac{d l}{S}$ זה ההתנגדות של קטע המוליך שבין הנקודות 1 ו-2, לכן נסמן אותו ב-$R_{12}$. מכאן מקבלים:

$$I R_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 + \int_{1 \to 2} \vec{E}_{\mathrm{ext}} \cdot \vec{d l} \tag{17}$$

האינטגרל הקווי באגף הימני של הנוסחה מייצג למעשה את העבודה שמבצע השדה החיצוני על יחידה אחת של מטען בהסעתו מנקודה 1 לנקודה 2, מפני שהמכפלה הסקלרית $\vec{E}_{\mathrm{ext}} \cdot \vec{\Delta l}$ זה העבודה בהעתק $\vec{\Delta l}$ והאינטגרל – אינו אלא סכום של עבודות כאלה. אבל העבודה שמבצע שדה חיצוני על יחידת מטען זה בדיוק הכא"מ, לכן נוכל לכתוב את הקשר גם בצורה הבאה:

יש לשים לב לסימן הכא"מ ב-(18). אם כיוון השדה החיצוני זהה לכיוון השדה החשמלי אז לכא"מ ולהפרש הפוטנציאלים אותו סימן. אחרת הסימנים שונים.

נשאר רק לראות כיצד יש לרשום את חוק אוהם במקרה בו קשה להפריד בין השדה האלקטרוסטטי לשדה החיצוני. קושי כזה נוצר כאשר הכא"מ (כלומר השדה החיצוני) איננו לוקלי אלא שורר בכל חלקי המוליך – זה קורה למשל כשנוצר שדה חשמלי לא אלקטרוסטטי בתהליך של השראה אלקטרומגנטית. במקרה זה יש לרשום בחוק אוהם רק את השדה השקול $\vec{E}$:

$$I R_{12} = \int_{1 \to 2} \vec{E} \cdot \vec{dl}$$

צריך לציין שכאשר פיתחנו את חוק אוהם הנחנו שעוצמת הזרם קבועה לאורך כל המוליך. במציאות זה לא תמיד מתקיים. למשל כשיש זרם חילופין המשתנה בתדירות גבוהה מאוד, עוצמת הזרם עלולה להשתנות. אולם כאשר אנו עוסקים בזרם ישר או בזרמים המשתנים יחסית לאט בזמן (זרמים קוואזי-סטציונריים) ההנחה שלנו מקובלת.

במעגל חשמלי סגור הפרש הפוטנציאלים שווה לאפס כי מטען שיוצא מנקודה כלשהי בעלת פוטנציאל $\varphi_1$ יחזור אל אותה הנקודה כך שסך העבודה שיבצע עליו השדה האלקטרוסטטי יהיה אפס ($W=q (\varphi_1 - \varphi_1) = 0$). לכן חוק אוהם למעגל סגור ייראה כך:

$$I R = \mathcal{E}$$

או

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R} \tag{19}$$

זה למעשה מבטא את מה שהוכחנו ב-(8) ומראה כי על מנת שיתקיים זרם קבוע במוליך יש צורך בשדה חיצוני שידאג להפרדה קבועה של מטענים.

מכיוון שיצאנו מנקודה מסוימת במעגל החשמלי וחזרנו אל אותה הנקודה, עברנו דרך כל ההתנגדויות ולכן $R$ בקשר (19) מבטא את ההתנגדות הכוללת של המעגל החשמלי (כולל ההתנגדות הפנימית של כל מקורות הכא"מ). כמו כן, $\mathcal{E}$ מסמל את הסכום האלגברי של כל הכא"מים. בהתאם לכך הרבה פעמים רושמים את חוק אוהם בצורה הבאה:

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R + r} \tag{20}$$

כאן $R$ זה סכום ההתנגדויות של כל הנגדים היוצרים את המעגל (בחשמל קוראים לזה התנגדות עומס), ו-$r$ זה סכום ההתנגדויות הפנימיות של כל מקורות הכא"מ.

נראה דוגמה פשוטה לשימוש בחוק אוהם (איור 5).

איור 5

1. לפי חוק אוהם מתקיים

$$I R_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 + \mathcal{E}$$

(כאשר $R_{12}$ זה ההתנגדות הכוללת בקטע בין הנקודות 1 ו-2).

כלומר

$$\varphi_1 - \varphi_2 = I R_{12} - \mathcal{E}=3 \cdot 20 - (-2 + 4) = 58 \text{V}$$

2. שוב פעם נשתמש בחוק אוהם:

$$I R_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 + \mathcal{E}\\
I \cdot 20 = -4 + (-2 + 4)\\
I = -0.1 \text{A}$$

סימן המינוס מעיד על כך שהזרם זורם בכיוון $2 \to 1$.