
חוק שימור אנרגיה במכניקה ושגיאות נפוצות
את חוק שימור האנרגיה המכנית ניתן לקבל מתוך חוקי ניוטון, בהנחה שהכוחות הפועלים במערכת תלויים במרחק שבין גופים או בין חלקים המרכיבים את הגופים במערכת (כוחות משיכה ואלסטיות).
המושגים העיקריים בהם משתמשים במקרה זה הם עבודה, אנרגיה קינטית, אנרגיה פוטנציאלית ואנרגיה כוללת. כל המושגים הללו, פרט לאנרגיה פוטנציאלית, לא קשים במיוחד לעיכול. ולמרות זאת, בלימודי מכניקה הרבה פעמים נוטים להסיק מסקנות שגויות כאשר לומדים את חוק שימור האנרגיה. הסיבה לכך מצד אחד היא, שכנראה, הלומדים לא מבינים עד הסוף את המשמעות העמוקה של מושגי היסוד הללו, ומצד שני (וזאת הנקודה החשובה), הרבה פעמים על מנת להקל על ההבנה נוטים להסתכל על דוגמאות פשוטות וספציפיות מאוד, ואחר כך מתוכם ללא הרבה מחשבה מסיקים מסקנות כלליות יותר, אשר לא תמיד נכונות. אנו נדון במאמר זה בשגיאות הנפוצות שעושים בלימודי חוק שימור האנרגיה במכניקה.
עבודה
נזכיר את מושג העבודה. עבודה של כוח
כאשר
אם הגוף נע בקו ישר והכוח
לפעמים נוטים לומר שההעתק נגרם בגלל הכוח. זה לא נכון. זה כלל לא משנה, מה גורם להעתק. אם במהלך תנועה של גוף פועל עליו כוח כלשהו, העבודה שמבצע כוח זה שווה לרכיב הכוח בכיוון ההעתק, כפול ההעתק עצמו.

איור 1
מכאן נובע, שעבודה איננה מתבצעת כאשר גוף עליו מופעל הכוח לא נע ביחס למערכת הייחוס הנתונה. למשל, כאשר גוף מחליק עם חיכוך על פני משטח כלשהו (איור 2), כוח החיכוך

איור 2
–
כוח החיכוך
כמובן שגודל העבודה הנעשית על ידי כוח כלשהו, תלוי במערכת הייחוס שאנו בוחרים. וזאת מפני שגוף הנח במערכת ייחוס אחת, ינוע במערכת ייחוס אחרת הנעה ביחס למערכת הייחוס הראשונה. למשל, אם אדם עומד ברכבת ומחזיק קפיץ במצב מתוח המחובר אל דופן הרכבת, הרי שבמערכת הייחוס הצמודה לרכבת, היד שלו לא תבצע שום עבודה, מפני שהחלק החופשי של הקפיץ לא זז. אולם מנקודת מבט של צופה במערכת ייחוס הצמודה אל כדור הארץ, כן תתבצע עבודה, מפני שכל המערכת נמצאת בתנועה. עוד דוגמה. הרבה פעמים אומרים כי עבודת כוח חיכוך ההחלקה תמיד שלילית. אך למעשה, היא יכולה להיות גם חיובית. זה פשוט תלוי בבחירת מערכת ייחוס.
אנרגיה קינטית
אחד המושגים הקלים ביותר להבנה הינו המושג של אנרגיה קינטית. תוך שימוש בהגדרה של עבודה ובאמצעות החוק השני של ניוטון, ניתן להראות כי בכל המקרים העבודה הנעשית על ידי כוח כלשהו
יותר מזה, מקור הכוח וסוג הכוח כאן לא משנים בכלל. זה יכול להיות כוח משיכה, כוח אלסטיות או כוח החיכוך.
אנרגיה קינטית של גוף מסוים מוגדרת באמצעות מסתו ומהירותו, והיא לא תלוייה בכך האם הגוף נמצא באינטראקציה עם גופים אחרים או לא. כמו כן, מפני שאנרגיה איננה גודל וקטורי, אין משמעות לכיוון תנועתו של הגוף. גודל אנרגיה קינטית תלוי, כמו במקרה של עבודה, במערכת הייחוס שאנו בוחרים.
האנרגיה הקינטית של מערכת של גופים שווה לסכום האנרגיות הקינטיות של גופי המערכת.
אנרגיה פוטנציאלית – אנרגיית אינטראקציה בין גופים
הרבה פעמים שוכחים להדגיש שאנרגיה פוטנציאלית במכניקה הינה אנרגיית אינטראקציה של לפחות שני גופים. מושג האנרגיה הפוטנציאלית קשור למערכת של גופים ולא לגוף אחד. אם במערכת ישנם מספר גופים, האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של המערכת שווה לסכום האנרגיות הפוטנציאליות של כל זוגות הגופים אשר נמצאים באינטראקציה זה עם האחר.
בדרך כלל, כאשר מפתחים את הנוסחה המקשרת בין שינוי אנרגיה פוטנציאלית של מערכת לבין עבודה של כוחות במערכת זו, מתייחסים לאחד הגופים כאל נַייָח. למשל, כאשר דנים בבעיית נפילה של גוף אל כדור הארץ תחת השפעת כוח הכובד, ניתן להזניח את ההעתק של כדור הארץ. לכן עבודה של כוחות אינטראקציה בין כדור הארץ לבין הגוף הופכת לעבודה של כוח אחד בלבד, הפועל על הגוף. עוד דוגמה. קפיץ מתוח או מכווץ אשר מפעיל כוח על גוף מסוים, בדרך כלל מחובר מצידו האחד אל גוף אחר, למשל קיר, כך שהקצה הזה לא מסוגל לזוז (למעשה הוא מחובר אל כדור הארץ), ובכך הקפיץ עצמו נשאר מקובע. במקרה כזה, רק הכוח האלסטי הפועל על הגוף מבצע עבודה.
זאת הסיבה לכך שנוהגים להסתכל על אנרגיה פוטנציאלית כעל אנרגיה של גוף בודד. זה לא נכון ועלול להוביל לבלבול מיותר.
בפועל, נכון לומר את הדבר הבא: השינוי באנרגיה פוטנציאלית של שני גופים, המפעילים זה על זה כוחות אשר תלויים רק במרחק שבין הגופים, שווה למינוס העבודה של כוחות אלו:

איור 3
–
השינוי באנרגיה פוטנציאלית של הגופים 1 ו-2 נקבעת על ידי עבודת הכוחות
כאשר
כוחות האינטראקציה בין הגופים, אשר תלויים אך ורק במרחק בין הגופים, הינם כוחות משמרים. וזאת מפני שעבודה של כוחות משמרים תלוייה אך ורק במיקום ההתחלתי והסופי של הגופים, ואיננה תלוייה במסלול שלהם. כמובן שזאת לא בעיה לחשב את שינוי האנרגיה הפוטנציאלית אם אנו יודעים את הביטוי המקשר בין כוח לבין המרחק.
רמת האפס של אנרגיה פוטנציאלית
ממשוואה (3) נובע כי עבודה של כוחות מבטאת לא את האנרגיה הפוטנציאלית עצמה אלא את השינוי בה. עבור כוח כובד בקרבת כדור הארץ, ניתן לרשום:
כאשר
שינוי האנרגיה הפוטנציאלית של קפיץ מכווץ או מתוח:
כאשר
מפני שעבודה מבטאת את השינוי באנרגיה פוטנציאלית ולא את האנרגיה הפוטנציאלית עצמה, רק השינוי באנרגיה פוטנציאלית הינו בעל משמעות פיזיקלית. לכן, ניתן לבחור בצורה שרירותית כזה מצב של מערכת אשר בו האנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס. המצב הזה הינו רמת האפס של אנרגיה פוטנציאלית. בחירת רמת האפס מתבצעת במצבים שונים באופן שונה, כאשר נוחות זה הגורם הקובע. ניתן לראות דמיון בין בחירת רמת האפס של אנרגיה פוטנציאלית לבין בחירת ראשית של מערכת צירים. אנו יכולים להזיז את הצירים כרצוננו וזה לא ישפיע על מרחק שבין שתי נקודות קבועות.
בדרך כלל, בוחרים את רמת האפס של אנרגיה פוטנציאלית כך שה-
במקרה של קפיץ, האנרגיה הפוטנציאלית הינה מינימלית כאשר הוא איננו מְעוּוָת. בדוגמה של אבן, האנרגיה הפוטנציאלית תיהיה מינימלית על פני כדור הארץ. לכן במקרה הראשון:
ובמקרה השני
אך לביטויים הללו ניתן להוסיף באופן שרירותי כל קבוע שנרצה, וזה לא ישנה שום דבר בחישובים שלנו. הרי רק להפרש בין אנרגיות פוטנציאליות יש משמעות פיזיקלית. לכן, ניתן בהחלט לרשום:
אם במקרה השני נניח כי
לפעמים, לא ניתן לבחור את רמת האפס של
כאשר
כאשר
אי-תלות של שינוי אנרגיה פוטנציאלית במערכת ייחוס
נדגיש שוב, כי מושג האנרגיה הפוטנציאלית הינו בעל משמעות רק עבור אותן מערכות, שבהן כוחות האינטראקציה הינם כוחות משמרים, כלומר תלויים במרחק שבין גופים או רכיבי גופים בלבד. לכן גם ה-
איך זה ייתכן? הרי
מכאן שבמערכת השנייה, אשר נעה ביחס אליה, העבודה שווה ל-
כאשר
כעת, על מנת לחדד את הבנתכם, נסו לפתור את השאלה הבאה:
כדור בעל מסה