כיצד ניתן לדעת האם תנועת הגוף מוגבלת? איך אפשר למצוא את טווח התנועה האפשרית? האם קיימים מצבים של שיווי משקל ואם כן, האם שיווי המשקל הוא יציב? במאמר זה ניווכח שאפשר לענות על כל השאלות הללו אם אנחנו יודעים את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. בנוסף, נראה מתי יש טעם לדבר על אנרגיה פוטנציאלית וכיצד לגלות את גודלה בכל נקודה.

מדברים על אנרגיה פוטנציאלית בדרך כלל כאשר מעוניינים להבין כיצד נעים גופים (או יותר נכון, מסות נקודתיות), באמצעות חוק שימור אנרגיה מכנית. חוק זה אומר כי כאשר במערכת פועלים כוחות משמרים בלבד, כלומר כוחות שעבודתם לאורך מסלול סגור שווה לאפס, האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת, לכן

\[E=K+U=\text{const} \tag{1}\]

הסכום

\[K=\frac{m_1 v_1^2}{2}+\frac{m_2 v_2^2}{2}+…+\frac{m_n v_n^2}{2}\]

נקרא האנרגיה הקינטית של המערכת ו-$U$ – האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. האנרגיה הקינטית בנוסחה (1) בעצם מאפיינת תנועה של גופים במערכת והאנרגיה הפוטנציאלית מאפיינת את ההשפעה ההדדית של הגופים זה על זה. בהמשך המאמר לשם פשטות אנו נדון בתנועה של מסה נקודתית אחת בלבד ונתייחס לשאר המסות הנקודתיות כאל נייחות. במקרה זה נהוג לכנות את התנועה כתנועה של מסה נקודתית בשדה כוח חיצוני, והנוסחה (1) תיראה כך

\[E=\frac{mv^2}{2}+U \tag{2}\]

כאשר דנים בתנועה של מסה נקודתית בשדה חיצוני אנו בעצם מעוניינים לחקור השפעה של המסות הנייחות על המסה הנעה, כאשר המערכת עצמה של כל המסות הינה מערכת סגורה. אולם יש כאן נקודה אחת חשובה. נראה זאת בדוגמה של שני חלקיקים נקודתיים בעלי מסות $m$ ו-$M$. נניח כי החלקיק בעל מסה $M$ הינו נייח באיזשהו רגע. נברר כעת מהם התנאים שצריכים להתקיים בכדי שהחלקיק ישאר במנוחה, כלומר כך שאפשר יהיה לדבר על מצב של תנועה של חלקיק בעל מסה $m$ בשדה חיצוני. לשם כך, נשתמש בחוק שימור התנע (הרי המערכת שלנו סגורה): $M \mathbf{v}+m\mathbf{v_1}=m\mathbf{v_0}$. (כאן $\mathbf{v_0}$ – המהירות ההתחלתית של החלקיק בעל מסה $m$, $\mathbf{v_1}$ – מהירותו לאחר זמן מה ו-$\mathbf{v}$ – המהירות שצובר החלקיק בעל מסה $M$). מכאן $\mathbf{v}=\frac{m}{M}(\mathbf{v_0}-\mathbf{v_1})$. אם $\mathbf{v_1} \neq \mathbf{v_0}$ אז $\mathbf{v}=0$ רק כאשר $M \to \infty$. מבחינה פיזית זה אומר ש-$m \ll M$. לפיכך אנו מסיקים כי שדה חיצוני הינו תוצאה של השפעה של גופים נייחים בעלי מסה גדולה על גוף בעל מסה קטנה (יחסית אליהם). הדוגמאות הפשוטות ביותר שאנו מכירים לשדה חיצוני זה לווין בשדה כבידה של כדור הארץ ואלקטרון בשדה הגרעין. כמובן שבכל המקרים הללו מתקיים התנאי $m \ll M$.

אם נתונה האנרגיה הכוללת $E$ של חלקיק, אזי שהמשוואה (2) מגבילה את החלקיק להימצאות בטוח מסוים במרחב. קל להיווכח כי הטענה הזאת נכונה – האנרגיה הקינטית $K=\frac{mv^2}{2}$ הינה גודל חיובי (אם היא הייתה גודל שלילי, הרי שהמהירות $v=\sqrt{\frac{2}{m} K}$ של החלקיק הייתה צריכה להיות גודל מדומה ולא ממשי), והרי שמחוק שימור האנרגיה נובע:

\[\frac{mv^2}{2}=E-U\]

לפיכך $E\geq U$: קיבלנו תנאי לקביעת התחום בו אפשרית תנועה עם אנרגיה מלאה $E$. בנקודות בהן $E=U$ האנרגיה הקינטית, ולכן גם המהירות, שווה לאפס. ננתח תנועה של גוף הנע לאורך קו ישר (ציר x). כאן האנרגיה הפוטנציאלית תלוייה אך ורק במיקום של הגוף על ישר זה: $U=U(x)$. במקרה כזה מאוד נוח לבדוק את התנאי שלנו בצורה גרפית. נעביר בגרף של אנרגיה פוטנציאלית ישר אופקי $U(x)=E$. בכל מקום בו הגרף של אנרגיה פוטנציאלית נמצא מתחת לישר שלנו – $E \geq U$ ולכן התנועה אפשרית. בנקודות החיתוך המהירות שווה לאפס (כי בנקודות אלו $E=U$), ובשאר האזורים לא יכולה להתקיים תנועה.

באיור מס’ 1 יש דוגמאות לתלות של אנרגיה פוטנציאלית במיקום ואפשר לראות באילו אזורים התנועה אפשרית.

בהינתן האנרגיה הפוטנציאלית ניתן לגלות בקלות את מהירות הגוף בכל נקודה. מכיוון ש-$\frac{mv^2}{2}=E-U$:

\[v=\pm \sqrt{\frac{2}{m} |E-U|}\]

שני הסימנים של המהירות מתאימים לשני כיוונים אפשריים לאורך ציר $x$. באיור 2 יש תיאור גרפי של מהירות כפונקציה של מיקום עבור המקרה בו האנרגיה הכוללת והאנרגיה הפוטנציאלית תואמות לאיור 1 (א). כיוון התנועה מסומן בחץ.

איור 2

אם כן, אנו רואים שבעזרת גרפים של אנרגיה פוטנציאלית אפשר בלי הרבה בעיה לגלות היכן אפשרית תנועה של גוף, איך נראה המסלול וכיצד תלוייה המהירות במיקום של הגוף. וכל זה בהינתן שאנו יודעים כיצד מתנהגת האנרגיה הפוטנציאלית לאורך כל המסלול.

נראה כעת מה משמעות קצב השינוי של אנרגיה פוטנציאלית, כלומר מה משמעות הגודל

\[\frac{\Delta U}{\Delta x}=\frac{U(x_2)-U(x_1)}{x_2-x_1} \tag{3}\]

כאשר $\Delta x = x_2-x_1$ שואף לאפס. לפי חוק שימור אנרגיה מכנית $\Delta U = - \Delta K$:

\[\Delta U = U(x_2)-U(x_1)=\frac{mv_1^2}{2}-\frac{mv_2^2}{2}=\frac{m}{2}(v_1+v_2)(v_1-v_2) \tag{4}\]

כאשר $v_1$ – מהירות של גוף בנקודה $x_1$ ו-$v_2$ מהירותו בנקודה $x_2$. בהעתק קטן מאוד $\Delta x$ ניתן להתייחס אל הכוח הפועל על הגוף כאל קבוע בגודלו ובכיוונו. תנועה תחת השפעה של כוח שקול קבוע $F$ הינה תנועה שוות תאוצה וגודל התאוצה הוא $a=\frac{F}{m}$. מהגדרה של תאוצה נובע $v_2-v_1=a \Delta t=\frac{F}{m} \Delta t$ ($\Delta t$ זמן התנועה). כמו כן, אנו יודעים כי הביטוי $\frac{v_1+v_2}{2}$ זה המהירות הממוצעת $\frac{v_1+v_2}{2}=v_{\mathrm{average}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. נציב ביטויים אלו בנוסחה (4):

\[\Delta U = m\frac{\Delta x}{\Delta t} \left (-\frac{F}{m} \Delta t \right )= - F \Delta x\]

מכאן נקבל

\[\frac{\Delta U}{\Delta x}=-F \tag{5}\]

נבדוק את המשמעות הגאומטרית של נוסחה (5). נניח כי נתון לנו גרף של אנרגיה פוטנציאלית. ברור כי ככל שהגודל $x_2-x_1$ קטן יותר כך קצב השינוי של אנרגיה פוטנציאלית מתקרב יותר לטנגנס זווית הנטייה של המשיק לעקומה של אנרגיה פוטנציאלית (איור 3).

איור 3

אפשר להיווכח כי זה נכון: $\tan \alpha_1=\frac{a}{b}=\frac{U(x_2)-U(x_1)}{x_2-x_1}$ וככל ש-$x_2-x_1$ קטן יותר כך הזווית $\alpha_1$ מתקרבת יותר אל הזווית $\alpha$. אם כן, אנו מגיעים למסקנה שמינוס שיפוע המשיק לגרף אנרגיה פוטנציאלית שווה לכוח הפועל על הגוף. זה אומר שככל ששיפוע המשיק תלול יותר, כך הכוח גדול יותר וההפך. לאחר שהבנו את המשמעות הגאומטרית של נוסחה (5) אנו יכולים לגלות בקלות האם קיימים מצבים של שיווי משקל ואת סוגם במערכת. אנו אומרים כי בנקודה מתקיים שיווי משקל אם הגוף יכול להימצא בה במנוחה במשך זמן לא מוגבל בהינתן שמהירותו ההתחלתית היא אפס. מתי מצב כזה אפשרי? תאוצה זה קצב השינוי של המהירות: אם היא שווה לאפס זה אומר שמהירות הגוף קבועה. אנו יודעים כי תאוצה פרופורציונית לכוח השקול שפועל על הגוף. לפיכך מצבי שיווי משקל יכולים להתקיים בנקודות בהן הכוח השקול שווה לאפס. נחזור לגרפים של אנרגיה פוטנציאלית. כפי שכבר ראינו, כוח הפועל על הגוף שווה למינוס שיפוע המשיק (או טנגנס זווית הנטייה) לגרף הפונקציה של אנרגיה פוטנציאלית. אם זווית הנטייה שווה לאפס זה אומר שהכוח שווה לאפס. במילים אחרות, בגרפים של אנרגיה פוטנציאלית מצבי שיווי משקל מתקיימים בנקודות בהן המשיק מקביל לציר המיקום – בנקודות הקיצון. אפשר לראות זאת בגרף הבא (איור 4):

איור 4

כאן נקודות שיווי המשקל הן $A$ ו-$B$ שכן הינם המקסימום והמינימום של הפונקציה. מצבי שיווי המשקל יכולים להיות יציבים ולא יציבים. למה הכוונה? נניח כי הוצאנו את הגוף משיווי משקל, למשל, באמצעות דחיפה קטנה. אם במקרה זה הכוח שפועל על הגוף יחזיר אותו חזרה, זה אומר ששיווי המשקל של הגוף יציב ואם לא, המצב איננו יציב. נבדוק את יציבות מצבי שיווי משקל התואמים למינימום של עקומת אנרגיה פוטנציאלית (נקודה $A$ באיור 4). נניח כי גוף הוזז ימינה מנקודה $A$. במצב $A_1$ החדש (איור 5 א’), שיפוע המשיק בנקודה הינו חיובי ולכן לכוח סימן שלילי. במילים אחרות, הכוח מנוגד לכיוון התזוזה ושואף להחזיר את הגוף לנקודה $A$. אם נזיז את הגוף טיפה שמאלה ($A_2$ באיור 5 א’), שיפוע המשיק יהיה שלילי ולכן הכוח יהיה חיובי, כלומר הוא יהיה מכוון אל נקודה $A$ ויאלץ את הגוף לחזור לנקודת המוצא. המסקנה הנובעת מכל זה היא שמצב שיווי המשקל במינימום של האנרגיה הפוטנציאלית הינו יציב. באופן דומה ניתן לבחון את יציבות שיווי המשקל כאשר פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית הינה בעלת מקסימום (איור 5 ב’).

אם כן, אנו רואים שלפי עקומת אנרגיה פוטנציאלית אפשר למצוא את הכוח הפועל על הגוף, את מצבי שיווי המשקל שלו ואף לגלות את יציבותם. במובן זה אפשר לראות אנלוגיה מסוימת בין גרף אנרגיה פוטנציאלית לבין גלישה על גבעה מושלגת – במקומות בהם הגבעה תלולה, אנו צוברים תאוצה רבה יותר. פסגת הגבעה והשקעים בה – מצבי שיווי משקל. הרי אם נשים שם מגלשיים הם ישארו במנוחה. עם זאת, מצב שיווי המשקל בפסגה איננו יציב בעוד שבמקומות בהם יש שקע בקרקע הוא כן יציב.

נדבר כעת על הדרך בה נוכל לחשב גודל האנרגיה הפוטנציאלית. לשם כך נחזור לנוסחה (5) ונכתוב אותה מחדש בצורה הבאה:

\[U(x_2)-U(x_1)=-F \cdot (x_2 - x_1) \tag{6}\]

נזכיר כי אנו מניחים שההעתק $\Delta x = x_2-x_1$ הינו מספיק קטן כך שאפשר יהיה להתייחס אל הכוח $F$ כאל קבוע לאורך כל ההעתק הזה. הגודל $F \cdot (x_2-x_1)$ שווה לעבודת הכוח $F$ מנקודה $x_1$ לנקודה $x_2$. לפיכך שינוי באנרגיה הפוטנציאלית שווה למינוס עבודת הכוח. הטענה האחרונה נכונה עבור כל מרחק בין שתי הנקודות. על מנת להוכיח זאת, נחלק את המסלול מנקודה $a$ לנקודה $b$ ל-$n$ חלקים קטנים, כך שעבור כל חלק יהיה ניתן להשתמש בנוסחה (6). נסמן את עבודת הכוח $F$ במסלול מנקודה $x_k$ לנקודה $x_{k+1}$ ($k = 1, 2, …, n$) באופן הבא:

\[F \cdot (x_{k+1}-x_k)=A_{k+1}\]

נשתמש בנוסחה (6) עבור כל חלק של המסלול ונגלה כי:

\[U(x_1)-U(a)=-A_1\] \[U(x_2)-U(x_1)=-A_2\] \[…\] \[U(b)-U(x_{n-1})=-A_{n}\]

אם נחבר את כל המשוואות הללו נקבל:

\[U(b)-U(a)=-(A_1+A_2+…+A_n)=A \tag{7}\]

כאשר $A$ – עבודת הכוח $F$ במסלול מ-$a$ ל-$b$. אפשר לראות בבירור את המשמעות הגאומטרית של נוסחה (7) אם נסתכל על גרף תלות של כוח במיקום $F=F(x)$ (איור 6):

איור 6

משמעות ההוכחה אשר ביצענו היא שאת התלות המקורית של הכוח במיקום החלפנו בתלות מדרגתית, כך שהנחנו שהכוח קבוע בכל חלק. ברור כי ככל שמספר המדרגות יהיה רב יותר, שתי העקומות – השחורה והאדומה – יתלכדו. נשים לב לכך ששטח כל מלבן באיור 6 שווה לעבודה של הכוח $F$ בחלק המתאים של המסלול והסכום של כל המלבנים הללו שווה לעבודת הכוח במסלול מ-$a$ ל-$b$; אך השטח מתחת למדרגות שווה במידת הדיוק הנבחרת לשטח שמתחת לעקומה המקורית. זה אומר שהשינוי באנרגיה הפוטנציאלית שווה למינוס השטח שמתחת לגרף של תלות הכוח במיקום. נבחן כמה דוגמאות. נניח כי על גוף כלשהו פועל כוח קבוע, כלומר כוח שלא תלוי בקואורדינטה של הגוף. במקרה זה, הגרף של הכוח יהיה ישר המקביל לציר $x$. השטח שמתחת לגרף שווה $F \cdot (x-x_0)$ ומכאן שהשינוי באנרגיה פוטנציאלית

\[U(x)-U(x_0)=-F \cdot (x-x_0) \tag{8}\]

(איור 7 א’, ב’)

מתוך משוואה (8) אפשר לקבל:

\[\frac{m v^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2}=F \cdot (x-x_0)\] \[\frac{m v^2}{2} - F x =\frac{m v_0^2}{2}-F x_0\]

כלומר אנרגיה פוטנציאלית שווה גם $U=-Fx$. אך זאת לא האפשרות היחידה. אנו רשאים לכתוב:

\[\frac{m v^2}{2}-Fx+C=\frac{m v_0^2}{2}-F x_0 + C\]

כאשר $C$ – קבוע כלשהו. אולם במקרה זה האנרגיה הפוטנציאלית הינה $U=- F x + C$. אנו רואים כי אנרגיה פוטנציאלית מוגדרת עד לכדי קבוע שרירותי. העובדה הזאת נובעת עוד מחוק שימור אנרגיה מכנית. הרי אם אנחנו אומרים שנשמר הגודל $E=\frac{m v^2}{2}+U$, זה אומר שנשמר גם הגודל $E’= \frac{m v^2}{2}+U+C$, כאשר $C$ – קבוע שרירותי. אך זה אומר ש-$U’=U+C$. מכאן נובע שניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית עד לכדי קבוע כלשהו שנבחר תמיד כך שיהיה לנו נוח לפתור את התרגיל. כמובן שאי הקביעות הזאת של אנרגיה פוטנציאלית איננה משפיעה על המסקנות שאנו מסיקים לגבי אופי התנועה של גוף כזה או אחר בשדה משמר, על מצבי שיווי משקל ועל תלות של מהירות במיקום הגוף. קל להיווכח שזה נכון בהינתן שלאחר הוספת הקבוע שלנו לאנרגיה פוטנציאלית, אנחנו נוסיף אותו גם לאנרגיה המכנית הכוללת של המערכת.

נדון כעת בתנועה ללא חיכוך של בול עץ המחובר אל קפיץ (איור 8) ונחשב את האנרגיה הפוטנציאלית במקרה זה.

איור 8

לפי חוק הוק כוח הפועל על הבול $F=-kx$ כאשר $k$ – קבוע הקפיץ, $\Delta x$ – התארכותו/התכווצותו. כאן גרף הכוח יהיה ישר אשר טנגנס זווית הנטייה שלו ביחס לציר $x$ שווה ל-$k$ (איור 9 א’).

איור 9 (א)

השינוי באנרגיה הפוטנציאלית $U(x_1)-U(x_0)$ שווה לשטח המפוספס בגרף שהוא הטרפז $ABCD$, אשר גובהו $BC=x_1-x_0$ וחצי הסכום של הבסיסים $\frac{AB+CD}{2}=\frac{k x_0 + k x_1}{2}$. תוך שימוש בנוסחת השטח של טרפז אנו מוצאים כי

\[\begin{align*} U\left(x_{1}\right)-U\left(x_{0}\right) & =\frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(kx_{0}+kx_{1}\right)}{2}\\ & =\frac{k\left(x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right)}{2}=\frac{kx_{1}^{2}}{2}-\frac{kx_{0}^{2}}{2} \end{align*} \tag{9}\]

לפיכך הביטוי עבור האנרגיה הפוטנציאלית:

\[U(x)=\frac{kx^2}{2}\]

גרף של אנרגיה פוטנציאלית במקרה זה יתואר על ידי פרבולה עם מינימום ב-$x=0$ (איור 9 ב’).

איור 9 (ב)

בעיה מעניינת נוספת היא בעיית תנועה של מטען בשדה של מטען אחר, מה שכמעט דומה לתנועה של מסה בשדה של מסה אחרת. במקרה הראשון לפי חוק קולון פועל כוח $F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$ ובמקרה השני פועל כוח המשיכה העולמי $F=-G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ כלומר התלות של כוח במרחק בשני המקרים זהה והשוני היחידי הוא במקדם. ההפרש באנרגיות הפוטנציאליות שווה לשטח שמתחת לעקומה $F=\frac{\alpha}{r^2}$ (איור 10 א’), כאשר עבור בעיית מטענים $\alpha = k q_1q_2$ ועבור בעיית המסות $\alpha = -G m_1 m_2$.

איור 10 (א)

אולם מציאת השטח במקרה זה איננה משימה פשוטה כמו בדוגמאות הקודמות, שכן היא דורשת ידע בחשבון אינטגרלי. אם נבצע חישוב אינטגרלי אנו נקבל כי האנרגיה הפוטנציאלית תיהיה:

\[U=\frac{\alpha}{r} \tag{10}\]

יש לשים לב כי בנוסחה (10) בחרנו את הקבוע $C$ כך שהאנרגיה הפוטנציאלית תיהיה אפס באינסוף. מאותה הנוסחה נובע כי מראה הגרף של אנרגיה הפוטנציאלית תלוי באופן ניכר בסימן של $\alpha$ (איור 10 ב’).

איור 10 (ב)

אם $\alpha > 0$ אזי הכוח $F=\frac{\alpha}{r^2}>0$ ויש לנו עסק עם דחייה (מטענים שווי סימן, $\alpha = q _1 q _2 > 0$). אם $\alpha < 0$ אזי שהכוח $F=-\frac{\left|\alpha\right|}{r^2} < 0$ מה שמעיד על משיכה (שתי מסות/שני מטענים שוני סימן). אפשר עוד פעם להיזכר באנלוגיה של מגלשיים. אם נשים אותם על גבעה שדומה מבחינת צורתה לגרף הפונקציה של האנרגיה הפוטנציאלית אנו ניווכח כי הכיוון בו הם יתחילו להחליק זה הכיוון בו פועל הכוח. הכלל המנמוני הזה עוזר לנו לקבוע בצורה מיידית האם יש לנו עסק עם כוח דחייה או כוח משיכה. ואכן, אם המגלשיים ינועו אל נקודה $r=0$ (כמו במקרה של הגרף התחתון באיור 10 ב’) יש לנו עסק עם משיכה ואם הפוך (כמו במקרה של הגרף העליון) זה אומר שיש לנו עסק עם דחייה.

הכלל הזה מאפשר לנו גם לבנות סקיצה של גרף אנרגיה פוטנציאלית במקרים בהם אנחנו לא יכולים לחשב אותה. נראה איך זה אפשרי. אנו יודעים כי במרחקים מספיק גדולים האטומים של מולקולות יציבות נמשכים זה אל זה, בעוד שאם נקרבם הם יידחו זה את זה. אופי הדחייה או המשיכה תלוי בעיקר במבנה של קליפת האלקטרונים באטומים, אולם אנו יכולים לומר את הדבר הבא – במרחקים גדולים יחסית המשיכה נחלשת מהר מאוד וכאשר מקרבים אותם, החל ממרחק מסוים, הדחייה גדלה מהר מאוד. לכל המתואר תואם הגרף של אנרגיה פוטנציאלית באיור 11.

איור 11

אם נשתמש בכלל שניסחנו קודם נוכל להסיק כי הנקודה $r=r_0$ הינה נקודת שיווי משקל יציב ולכן $r_0$ שווה למרחק בין האטומים במולקולה. אם כן, ראינו כי בעזרת גרף של אנרגיה פוטנציאלית אפשר לקבוע הרבה דברים חשובים – בהינתן האנרגיה את מספר המסלולים האפשריים, האם התנועה הינה מוגבלת או לא, האם קיימים מצבים של שיווי משקל ואם כן – האם המצבים הללו יציבים או לא יציבים. ראינו גם כי הרבה תכונות שאפשר ללמוד אותם מגרף אנרגיה פוטנציאלית הינן בעלות משמעות גאומטרית פשוטה. ראינו גם כי מאוד קל לקבוע את הכיוון שבו פועל הכוח לפי “כלל המגלשיים”. כל זה עלול להקל עלינו משמעותית בפתרון תרגילים בהם יש עסק עם אנרגיה פוטנציאלית.

אתם מוזמנים לנסות ולפתור כמה בעיות בכוחות עצמכם:

1. מצא את התחום בו יכולה להתקיים תנועה במקרה של $E<U_0$ ובמקרה של $E>U_0$ אם גרף האנרגיה הפוטנציאלית הוא כמו באיור 12.
2. מצא את מצבי שיווי המשקל לפי עקומת האנרגיה הפוטנציאלית (איור 13) וקבע האם הם יציבים. כמו כן, שרטט גרף של כוח כפונקציה של קואורדינטה.
3. הראה בצורה גאומטרית כי כאשר מוסיפים לאנרגיה הפוטנציאלית קבוע $C$, כוח הפועל על הגוף בכל נקודה ונקודה לא משתנה.
4. * קובייה עם צלע $a$ ועם צפיפות $\rho_c$ צפה על פני נוזל בעל צפיפות $\rho_l$. שרטט גרף של כוח הפועל על הקובייה וגרף של אנרגיה פוטנציאלית כתלות בעומק.