תנע ושימורו

תנע ושימורו

  • 14 באוקטובר, 2013
  • מכניקה קלאסית
  • תגובה אחת

החוקים הבסיסיים של מכניקה – החוק השני והשלישי של ניוטון – מאפשרים לפתור כל בעיה מכנית. במאמר זה אנו נראה כי אחת המסקנות הנובעות מחוקים יסודיים אלו מאפשרת לנו לפתור בעיות שונות בצורה יותר פשוטה.

נפעיל כוח קבוע $\mathbf{F}$ על גוף בעל מסה $m$. מהחוק השני של ניוטון אנו יודעים כי תאוצת הגוף תיהיה גם היא קבועה:
$$\mathbf{a}=\frac{\mathbf{F}}{m} \tag{1}$$
נניח כי בתחילת פרק הזמן $t$ בו הכוח פעל על הגוף, מהירות הגוף הייתה $\mathbf{v_0}$ ובסופו מהירות הגוף הייתה $\mathbf{v}$. כידוע, כאשר התנועה הינה תנועה שוות תאוצה, ניתן לרשום את הקשר הבא:
$$\mathbf{a}=\frac{\mathbf{v-v_0}}{t}$$
לפיכך משוואה (1) הופכת להיות:
$$m \mathbf{v} – m \mathbf{v_0} = \mathbf{F} t \tag{2}$$
מכפלת מסה של גוף במהירות שלו נקראת התנע (או כמות התנועה) של גוף. תנע של גוף – גודל וקטורי, מפני שמהירות זה וקטור. מכפלת הכוח בזמן נקראת מתקף. גם מתקף זה גודל וקטורי, שכן כוח זה וקטור.
במילים אחרות, הנוסחה (2) אומרת כי השינוי בתנע של גוף תחת השפעה של כוח קבוע שווה למתקף שפועל על הגוף. אם הכוח איננו קבוע, הרי שהנוסחה הזאת תקפה רק עבור פרקי זמן כה קטנים שבהם הכוח לא מספיק להשתנות באופן ניכר – לא בגודלו ולא בכיוונו. אם הכוח משתנה באופן ניכר, עדיין אפשר להשתמש בנוסחה (2), אולם במקום $\mathbf{F}$ יש לקחת ערך של כוח ממוצע בפרק הזמן הנבחר.
במקרה של תנועה בקו ישר המתרחשת לאורך ציר $x$, ניתן לפרק את הוקטורים המופיעים בנוסחה (2) לרכיבים על ציר זה, מה שמאפשר לרשום את הנוסחה באופן סקלרי:
$$m v_x – m v_{0_x}=F_x t$$
כאן $v_x$, $v_{0_x}$ ו-$F_x$ – היטלים של וקטורים $\mathbf{v}$, $\mathbf{v_0}$ ו-$\mathbf{F}$ על ציר $x$.
מפני שבמקרה הנדון כל שלושת הוקטורים נמצאים על ציר $x$, כל אחד מההיטלים שווה בערכו המוחלט לאורך הוקטור, והסימן נקבע באופן הבא: אם הוקטור מכוון בכיוון החיובי של הציר – הסימן יהיה חיובי, ואם הוא מנוגד לציר – הסימן יהיה שלילי. לכן סימן של היטל של וקטור, בעצם, מעיד על כיוון הוקטור. אם, נניח, $v_x$ הינו חיובי (כלומר $v_x=v$), זה אומר שהוקטור $\mathbf{v}$ מצביע בכיוון חיובי של ציר $x$. אם $F_x$ שלילי (כלומר $F_x=-F$) זה אומר שוקטור הכוח מנוגד לכיוון החיובי של ציר $x$. כמו כן, ברור כי כל הנאמר עד עכשיו תקף לכל ציר באשר הוא.

מערכת של גופים

במכניקה הרבה פעמים פוגשים בעיות בהן יש עסק בו זמנית עם מספר גופים אשר עלולים לנוע באופן שונה. דוגמה לתרגילים כאלה הם תרגילים אשר עוסקים בתנועה של גרמי שמיים, התנגשויות של גופים, רתע של נשק או תותח וכדומה. במקרה זה מדובר בתנועה של מערכת של גופים: מערכת השמש, מערכת של שני גופים מתנגשים, מערכת של תותח – פגז וכו'. בין גופי המערכת פועלים כוחות מסוימים. במערכת השמש זה כוחות המשיכה, במערכת של גופים מתנגשים – כוחות אלסטיים, במערכת של תותח – פגז – כוחות הלחץ של גזים הנוצרים בעת בעירת אבק שריפה. מלבד הכוחות שמפעילים גופי המערכת זה על זה (כוחות "פנימיים"), יכולים לפעול על גופי המערכת כוחות מצד גופים אשר לא נמצאים במערכת (כוחות "חיצוניים"); לדוגמה, על כדורי ביליארד מתנגשים פועל גם כוח הכובד מצד כדור הארץ וכוח נורמלי מצד השולחן, על תותח ועל פגז גם כן פועל כוח הכובד וכו'. אולם במקרים מסוימים ניתן להזניח כוחות חיצוניים. כך למשל, במקרה של כדורי ביליארד כוח הכובד והכוח הנורמלי מאזנים זה את זה עבור כל כדור בנפרד ולכן הם לא משפיעים על תנועתם. דוגמה נוספת היא דוגמה של לווין הנע סביב כדה"א – אם נניח כי רדיוס המסלול שלו הוא כ-8000 ק"מ, נגלה כי כוח המשיכה שמפעילה עליו השמש קטן פי אלף מזה של כדה"א. אפשר גם להיווכח כי כוח המשיכה של הירח קטן פי 200, וכוחות המשיכה של שאר גרמי השמיים כמעט אפסיים. זה אומר שאנחנו יכולים בקירוב טוב להזניח את כל הכוחות שפועלים על הלווין מלבד כוח הכבידה של כדה"א. כלומר אנו יכולים להסתכל על מערכת שכוללת שני גופים – לווין וכדור הארץ, ולהניח כי כוחות האינטראקציה ביניהם הם הגורם הקובע. כל שאר הגופים הינם גופים חיצוניים ביחס למערכת הזאת.

מערכת של גופים נקראת מערכת סגורה (או מבודדת) אם לא פועלים עליה כוחות חיצוניים או שניתן להזניחם ביחס לכוחות הפנימיים.

רובה וקליע במהלך הירי מהווים מערכת סגורה למרות כוח הכובד שפועל עליהם מצד כדור הארץ שאיננו חלק מהמערכת. וזאת מפני שמשקל הקליע קטן מאוד ביחס לכוחות הלחץ של גזים הודפים והתהליך עצמו מתרחש מאוד מהר. לכן לא נראה שום הבדל ניכר מבחינת התנע של המערכת בין אם הירי מתרחש על פני כדור הארץ לבין אם הוא מתרחש הרחק מכל גרמי השמיים. לפיכך, נוכל לנסח כלל:

אם המתקפים הפנימיים הפועלים במערכת גדולים מאוד ביחס למתקפים החיצוניים, ניתן להתייחס למערכת כאל מערכת סגורה.

חוק שימור התנע

נתחיל ממערכת פשוטה ביותר המורכבת משני גופים. נניח כי המסות שלהם הן $m$ ו-$M$, והמהירויות הן $v_0$ ו-$V_0$. נניח כי לא פועלים עליהם כוחות חיצוניים ולכן מערכת שני הגופים היא סגורה. הגופים יכולים להפעיל זה על זה כוחות (הכוחות הללו הם פנימיים). כתוצאה מאינטראקציה בין הגופים (למשל, כתוצאה מהתנגשות) מהירויותיהם השתנו והפכו להיות $v$ ו-$V$ בהתאמה. עבור גוף בעל מסה $m$, השינוי בתנע הוא $m \mathbf{v} – m \mathbf{v_0} = \mathbf{F} t$, כאשר $\mathbf{F}$ זה כוח אשר הפעיל עליו גוף בעל מסה $M$, ו-$t$ זה משך האינטראקציה. עבור גוף בעל מסה $M$ השינוי בתנע הוא $M \mathbf{V} – M \mathbf{V_0} = – \mathbf{F} t$ מפני שלפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שמפעיל הגוף שמסתו $m$ שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו לכוח שמפעיל הגוף שמסתו $M$ על גוף שמסתו $m$. אם נבחר את שתי המשוואות, נקבל:
$$m \mathbf{v} – m\mathbf{v_0} + M \mathbf{V} – M\mathbf{V_0} = 0$$
כלומר
$$m \mathbf{v_0} + M \mathbf{V_0} = m \mathbf{v} + M \mathbf{V} \tag{3}$$
במילים אחרות

התנע הכולל של מערכת סגורה (הסכום הוקטורי של התנעים של גופי המערכת) נשמר.

זהו חוק שימור התנע – אחד החוקים הבסיסיים ביותר בטבע בו תיתקלו עוד הרבה פעמים בלימודי הפיזיקה שלכם.
את חוק שימור התנע אפשר גם לנסח בצורה קצת שונה:

הכוחות הפנימיים לא משנים את התנע הכולל של המערכת.

למרות שההוכחה שלנו התבססה על דוגמה פרטית של שני גופים, אפשר בקלות להראות כי זה תקף עבור כל מערכת סגורה, בלי קשר למספר הגופים שמרכיבים אותה. כמו כן, זה לא תלוי בכך האם האינטראקציה בין גופי המערכת הייתה קצרה או ארוכה, האם הם באו במגע או לא וכו'.
אין לחשוב כי חוק שימור התנע מחייב את התנע של כל גוף במערכת להיות קבוע. ההיפך – בגלל הכוחות הפנימיים שעלולים לפעול במערכת, התנעים של גופי המערכת יכולים בהחלט להשתנות. נשמר רק הסכום הוקטורי של כל התנעים של כל גופי המערכת.

נקודה חשובה נוספת היא שהתנע יכול להישמר בציר אחד ולא להישמר בציר אחר. ננסח את הכלל הבא:

במידה ועל מערכת פועל כוח שקול חיצוני, התנע של המערכת נשמר רק בציר הניצב לציר שבו פועל הכוח השקול החיצוני.

נקודת המפתח כאן היא שלא התנע הכולל של המערכת נשמר, אלא רק רכיב של התנע הכולל. בכדי להיווכח כי הטענה לעיל נכונה, ננתח דוגמה בה זורקים עצם אופקית (ראה תנועה בליסטית). במקרה זה, אם המערכת הנבחרת היא הגוף עצמו, הרי שהיא איננה סגורה מכיוון שעל העצם פועל כוח הכובד אשר מאונך לפני הקרקע – הוא מוסר לעצם תאוצה בכיוון אנכי בלבד (כלומר מהירות הגוף, ולכן גם התנע, משתנים בציר זה). אולם אנו יודעים שניתן לפרק את המהירות לרכיבים ולהסתכל על התנועה של הגוף כעל תנועה המורכבת משתי תנועות נפרדות – אנכית ואופקית. בציר האופקי לא פועל על העצם שום כוח – לכן הוא נע במהירות קבועה. זה מסתדר גם עם חוק שימור התנע שניתן להפעיל רק כלפי הציר הזה – לא פועלים כוחות חיצוניים בציר האופקי ולכן התנע בציר זה נשמר. זה אומר שאם נבחר כל נקודת זמן כאשר העצם שוהה באוויר ונסתכל על התנע של העצם אנו נגלה כי הרכיב האופקי של התנע יהיה זהה לרכיב האופקי של התנע בכל רגע אחר בעוד שהתנע האנכי כן ישתנה.

אם מערכת מורכבת מגוף בודד, ולא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים, הרי שלפי חוק שימור התנע כמות התנועה של הגוף לא משתנה. זה שווה ערך לחוק ההתמדה (מהירות הגוף לא משתנה כאשר שקול הכוחות הינו אפס).

רתע

הדוגמה הקלאסית לשימוש בחוק שימור התנע היא תופעת הרתע שנלוות לתהליך ירי מנשק. נניח כי לפני הירייה הרובה (בעל מסה $M$) והכדור (בעל מסה $m$) נמצאים במנוחה. כלומר התנע ההתחלתי של המערכת רובה-כדור שווה לאפס. מיד לאחר הירי מהירויות הרובה והכדור הן $V$ ו-$v$ בהתאמה. מפני שמתקיים חוק שימור התנע (המתקפים הפנימיים בעת הירי גדולים מאוד ביחס למתקפים החיצוניים ולכן המערכת סגורה) – התנע הכולל של המערכת לאחר הירי חייב להיות אפס. לפיכך כהרף עין לאחר הירייה, יתקיים השוויון הבא:
$$M \mathbf{V} + m \mathbf{v} = 0$$
או
$$\mathbf{V} = – \frac{m}{M} \mathbf{v}$$
כלומר מהירות הרובה תיהיה קטנה ממהירות הכדור פי מספר הפעמים שמסת הרובה גדולה ממסת הכדור.
אנו רואים כי ניתן לפתור בעיות מבלי להתעסק באופן ישיר בכוחות שמופיעים בה הודות למושג התנע ולחוק שימור התנע.

הנעה רקטית

אם נעמוד על קרח ונזרוק קדימה חפץ כבד הגוף שלנו יתחיל לנוע אחורה. הסיבה לתנועה זו היא אותה הסיבה בגללה נוצר רתע. אולם אם נחשוב על זה, ניווכח כי ניתן להפיק תועלת מרתע, שכן תופעה זו מאפשרת לנו לנוע מבלי לבצע דחיפה שהודות לה אנחנו מסוגלים ללכת (חיכוך עם האדמה) ומטוסים מסוגלים לטוס (כוח עילוי). הרי אם נרצה לטוס בחלל בו אין אוויר נצטרך לשכוח מכוח העילוי ולחפש פתרון אחר. להנעה המבוססת על עקרון הרתע קוראים הנעה רקטית. עקרון ההנעה הרקטית איפשר ליצור מטוסים הנעים במהירויות של אלפי קילומטרים לשעה, רקטות ולווינים המסוגלים לצאת לחלל ולהגיע לכוכבי לכת אחרים.
מנוע רקטי זוהי מכונה אשר פולטת בעוצמה רבה גזים הנוצרים בעת בעירת דלק. טיל נע בכיוון המנוגד לכיוון פליטת הגזים. מהו כוח הדחף שמניע את הטיל? אנו יודעים שכוח שווה לשינוי בתנע ליחידת זמן. לפי חוק שימור התנע, שינוי בתנע של הטיל שווה לגודל התנע $mv$ של הגז הנפלט. לפי זה אפשר למצוא את הקשר שבין כוח הדחף לבין צריכת הדלק. נניח כי המהירות בה נפלטים הגזים היא $2000 \text{m/s}$ והכמות בה הם נפלטים היא $10 \text{ton/s}$. זה אומר שכוח הדחף יהיה שווה $2 \cdot 10^{7} \text{N}$.
נמצא כעת למה שווה שינוי במהירות של טיל הנע בחלל (לא פועלים עליו כוחות חיצוניים). התנע של גז בעל מסה $\Delta M$ הנפלט ברגע מסוים במהירות $u$ שווה $u \cdot \Delta M$. באותו הזמן השינוי בתנע של טיל בעל המסה $M$ הוא $M \cdot \Delta V$. לפי חוק שימור התנע, שני הגדלים הללו שווים זה לזה:
$$u \cdot \Delta M = M \cdot \Delta V$$
כלומר
$$\Delta V = u \cdot \frac{\Delta M}{M}$$
אולם אם נרצה לחשב את מהירות הרקטה שממנה נפלטים גזים בעלי מסה מסדר גודל של מסת הטיל, לא נוכל להשתמש בנוסחה הזאת. הרי בנוסחה הזאת מסת הטיל קבועה. אולם אלו שבקיאים בחשבון אינטגרלי יוכלו לקבל את הערך המדוייק גם עבור המקרה הזה. הביטוי למהירות רקטה עם מסה משתנה יהיה:
$$V = u \ln \left(\frac{M_i}{M} \right )$$
כאשר $M_i$ – מסת הטיל בהתחלה ו-$M$ – מסתו בסוף. נוסחה זו ידועה בשם נוסחת ציאולקובסקי.


מבוסס על:
יבורסקי ב., פינסקי א. יסודות הפיזיקה כרך א' (2003) [עמ' 140]
לנדסברג ג. ספר לימוד בפיזיקה כרך א' (1985) [עמ' 107-109]

תמונה ראשית: Space Shuttle Atlantis

תגובה אחת

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.