תנועה מעגלית קצובה

תנועה מעגלית קצובה

  • 25 באוגוסט, 2013
  • מכניקה קלאסית
  • אין תגובות

אם מסה נקודתית נעה במסלול מעגלי, התנועה הינה מואצת, לפחות מפני שכל הזמן משתנה הכיוון של המהירות. בערכה המוחלט, המהירות יכולה להישאר קבועה, אולם כאשר אנו מדברים על מהירות, יש לזכור כי מדובר בוקטור שיש לו לא רק גודל, אלא גם כיוון.
ניקח את המקרה הפשוט, כאשר מסה נקודתית מבצעת תנועה מעגלית בלי שינוי גודל המהירות (כלומר $|\vec{\mathbf{v}}|=v=\text{const}$). תנועה כזאת נקראת תנועה מעגלית קצובה. נצייר וקטור מהירות בכל נקודת זמן ונחבר את הוקטורים שקיבלנו לנקודה אחת (אנו יכולים להזיז וקטורים כרצוננו כל עוד אנו לא משנים את גודלם או את כיוונם), כמתואר בציור הבא –
uniform-circular-motion
לפי כללי חיסור וקטורים ניתן להבין ששינוי וקטור המהירות יוצג על ידי בסיס של משולש שווה-שוקיים. נצייר את כל שינויי מהירויות עבור סיבוב אחד. סכום כל השינויים עבור סיבוב שלם יהיה שווה לסכום צלעות המצולע המשוכלל שנוצר בציור. כמובן שהציור מתאר רק חלק מוקטורי המהירויות בתנועה מעגלית קצובה, והרי שהשינוי בכיוון וקטור המהירות מתרחש כל הזמן ללא הפסקה, לכן הציור רק נועד להמחשת הרעיון. כמו כן, ברור שהציור יהפוך להיות יותר מדוייק ככל שאנו נקטין את זוויות הראש של כל משולש, או במילים אחרות, נקח יותר ויותר וקטורי מהירות בפרקי זמן קטנים יותר. ככל שצלעות המצולע שלנו קטנות יותר, כך הוא מתקרב יותר למעגל בעל רדיוס $v$ (לא להתבלבל עם המעגל הפיזי של התנועה עצמה). לכן הערך המדוייק של סכום כל שינויי המהירות בערך מוחלט עבור סיבוב שלם יהיה ההיקף של המעגל – $2 \pi v$. ניתן לקבל את התאוצה של המסה הנקודתית על ידי חילוק של ההיקף הזה בזמן מחזור $T$ (הזמן שלוקח לנקודה להשלים סיבוב אחד):

$$ a=\frac{2 \pi v}{T}$$

מאידך, זמן המחזור בתנועה במעגל בעל רדיוס $R$ ניתן לבטא באופן הבא – $T=\frac{2 \pi R}{v}$. כאשר נציב את הביטוי הזה עבור $T$ במשוואה הקודמת, נקבל את הצורה הבאה של הביטוי עבור התאוצה של מסה נקודתית בתנועה מעגלית קצובה:

$$a=\frac{v^2}{R}$$

כאשר רדיוס הסיבוב אינו משתנה התאוצה פרופורציונית לריבוע המהירות. עבור מהירות נתונה, התאוצה נמצאת ביחס הפוך לרדיוס.

מתוך האמור לעיל, ניתן גם להבין להיכן מכוונת התאוצה בכל נקודת זמן בתנועה מעגלית קצובה. ככל שזווית הראש בכל משולש בציור קטנה יותר, כך גם הזווית בין וקטור שינוי המהירות לבין וקטור המהירות עצמו קרובה יותר ל-$90^{\circ}$.

לכן, וקטור התאוצה בתנועה מעגלית קצובה מאונך לוקטור המהירות. ומכיוון שוקטור המהירות משיק למסלול המעגלי, הרי שוקטור התאוצה מתלכד עם הרדיוס ומכוון כלפי מרכז המעגל.

אם ננסה לסובב כדור באמצעות חבל, אנו נרגיש את הצורך להפעיל כוח עם השרירים על מנת לגרום לכדור לבצע תנועה מעגלית קבועה. למה יש צורך להפעיל כוח? הרי הגוף נע בתנועה קצובה? אז זהו, שלא. כאמור, הגוף נע במהירות קבועה בגודלה, אולם שינוי כיוון המהירות גורם לתנועה זו להיות תנועה מואצת. ובכדי לגרום לתאוצה, כידוע, יש להפעיל כוח.

לפי החוק השני של ניוטון, כיוון הכוח הוא ככיוון התאוצה. לפיכך, גוף הנע במסלול מעגלי במהירות הקבועה בגודלה צריך להרגיש כוח אשר יהיה מכוון כלפי מרכז המעגל, במקביל לרדיוס המעגל. כוח הפועל על גוף המבצע תנועה מעגלית קצובה נקרא הכוח הצנטריפטלי. גודל הכוח הצנטריפטלי שווה $m \frac{v^2}{R}$.

יש לציין, כי הכוח הצנטריפטלי מופעל מצד הגוף שגורם לתנועה המעגלית (חבל, אדמה וכו'). כמו כן, חשוב להבין כי הכוח הצנטריפטלי איננו כוח בפני עצמו – זהו רק שם לכל כוח באשר הוא, הגורם לתנועה מעגלית; זה יכול להיות כוח מתיחות החוט או כוח חיכוך שמפעילה האדמה וכדומה.

כל הנאמר עד כה תקף גם במקרה של ירח וכדור הארץ. מה מחזיק את הירח בתנועה סביב כוכב הלכת שלנו? למה הירח לא מתרחק מכדה"א וממשיך לו לנוע במהירות קבועה ובקו ישר לפי החוק הראשון של ניוטון? כדור הארץ מחזיק את הירח במסלול המעגלי שלו באמצעות "חבל בלתי נראה" – כוח המשיכה. הכוח הזה שווה ל-$m \frac{v^2}{R}$ כאשר $v$ זאת המהירות של הירח, ו-$R$ זה המרחק מן המרכז של כדור הארץ ועד למרכז של הירח. מכיוון שמסת כדור הארץ גדולה בהרבה ממסת הירח, אין הירח משפיע על תנועה של כדור הארץ בצורה ניכרת.


מבוסס על: לנדאו ל., קיטאיגורודסקי א. פיזיקה לכולם חלק א' (1978) [עמ' 55-58]

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.