משפט גאוס

משפט גאוס

  • 7 בספטמבר, 2014
  • אלקטרומגנטיות
  • 3 תגובות

ניתן לייצג שדה אלקטרוסטטי (חשמלי) בצורה גרפית על ידי קווי שדה. על מנת לקבל את כיוון וקטור השדה בנקודה מסוימת, מעבירים משיק לקו השדה באותה הנקודה. השוואת צפיפות קווי השדה בנקודות שונות מאפשרת לנו לקבוע היכן ופי כמה השדה חזק יותר. אך בזה חשיבות קווי השדה לא נגמרת.

כידוע, שדה אלקטרוסטטי בריק הינו רציף. כלומר, אפשר לצייר אותו מבלי להרים את העיפרון – הוא לא נקטע בפתאומיות במקום כלשהו. זה רק נשמע לנו כל כך מובן מאילו. לתכונה זו יש חשיבות רבה. אילו חוק קולון היה נראה טיפה שונה, כבר לא הינו יכולים להעביר קווי שדה רציפים. ניקח למשל מטען נקודתי. ככל שנתרחק ממנו, צפיפות קווי השדה תקטן. אם נתרחק ממנו פי 2, צפיפות קווי השדה תקטן פי 4 (מספר קווי השדה כמובן לא ישתנה, אך שטח הפנים של ספירה שאותה חוצים הקווים יגדל פי 4 – ראה איור 1). גם עוצמת השדה תקטן פי 4. כל זה הודות לעובדה שבחוק קולון מופיע $1/r^2$. ומה אם היה שם $1/r^3$? עוצמת השדה הייתה קטנה פי 8, ובכדי לקיים את "חוק הצפיפות" היינו נאלצים לקטוע חצי מקווי השדה בדרך מ-$r$ ל-$2 r$. וכל זה עוד בריק!

Inverse_square_law

איור 1 – עוצמה של שדה חשמלי נמצאת ביחס הפוך לריבוע המרחק מהמטען שיוצר אותו

משפט גאוס הינו הניסוח המתמטי של תכונת הרציפות של קווי השדה החשמלי. נדמיין לעצמנו משטח סגור (למשל, ספירה).

כל משטח סגור שבו משמשים במשפט גאוס נקרא משטח גאוסי. נשים לב שהמשטח לא חייב להיות אמיתי.

אם בתוך המשטח אין מטענים, אזי מספר קווי שדה הנכנסים אל תוך המשטח שווה בדיוק למספר הקווים היוצאים ממנו (איור 2). כלומר אם בתוך המשטח אין מטענים, אין גם קווי שדה שמתחילים או מסתיימים בתוך המשטח. אם נסמן את מספר הקווים שנכנסים אל תוך המשטח בפלוס ואת אלה שיוצאים ממנו – במינוס, "הסכום" שלהם יהיה אפס – אין קו שרק נכנס או רק יוצא מהמשטח.

charge_outside_surface_field_lines

איור 2 – קווי שדה שנכנסים אל תוך המשטח גם יוצאים ממנו

ברור שאם המשטח עוטף מטען כלשהו, אזי יהיו קווים שרק ייצאו מהמשטח או רק ייכנסו אל תוכו. בנוסף, מספר הקווים היוצאים מהמשטח (או הנכנסים לתוכו) יהיה פרופורציוני לגודל המטען הכלוא בתוך המשטח. זהו למעשה הניסוח האיכותי של משפט גאוס.

לפני שננסח את המשפט בצורה כמותית, נציג כמה מושגים.

נגדיר גודל סקלרי $\Phi$ שייקרא שטף חשמלי כמכפלה סקלרית של וקטור השדה החשמלי במשטח זעיר:

$$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = E S \cos \alpha$$

כאשר $\vec{E}$ – עוצמת השדה החשמלי בנקודה בה בחרנו את המשטח (מפני שהוא קטן, ניתן להתייחס אל השדה כאל אחיד באותו האזור), $\vec{S}$ – וקטור הניצב למשטח שבחרנו ושגודלו שווה לשטח המשטח ו-$\alpha$ – הזווית שבין שני הווקטורים.

תסתכלו על איור 3: מספר קווי השדה החוצים את המשטח $S$ שווה למכפלת צפיפותם (מספר הקווים ליחידת שטח) בגודל השטח המאונך להם $S_{\perp} = S \cos \alpha$.

electric_flux

איור 3 – שטף חשמלי העובר דרך משטח $S$

אבל כזכור, צפיפות הקווים פרופורציונית לעוצמת השדה $\vec{E}$. מכאן שמספר קווי השדה החוצים משטח מסוים פרופורציוני לשטף $\Phi$ העובר דרך המשטח. כמו כן, ברור כי אם מדובר במשטח שרירותי, השטף החשמלי שעובר דרכו שווה לסכום השטפים העוברים דרך החלקים הזעירים של המשטח.

ל-$\Phi$ יש עוד תכונה חשובה. נכתוב את השטף החשמלי כך:

$$\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S$$

כאשר $E_n$ – היטל הוקטור $\vec{E}$ על הנורמל למשטח ($\vec{S}$).

לפי עקרון הסופרפוזיציה, אם שדה חשמלי נוצר על ידי מספר מטענים, אפשר לכתוב אותו כסכום השדות שהמטענים יוצרים בנפרד:

$$\vec{E} = \vec{E_1}+\vec{E_2}+…+\vec{E_k}$$

אבל זה אומר שגם ההיטל של וקטור השדה השקול שווה לסכום ההיטלים של השדות הנפרדים:

$$E_n = E_{1n} + E_{2n} + … + E_{kn}$$

מכאן שהשטף הכולל הוא סכום השטפים מכל מטען בנפרד:

$$\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 + … + \Phi_k$$

נחזור לדון במשטח סגור. נסכים שוקטור השטח של כל משטח קטן המרכיב את המשטח הסגור יהיה מכוון החוצה. כעת, בעזרת ההגדרה של שטף חשמלי, אנחנו יכולים לתאר בצורה כמותית את התרומה של כל הקווים העוברים דרך המשטח. הקווים שנכנסים ויוצאים מהמשטח, לא יוצרים בסך הכול שטף חשמלי, שכן השטף החשמלי השלילי בכניסה מתבטל עם השטף החיובי ביציאה. אולם השטף החשמלי הנוצר ע"י הקווים שמתחילים/מסתיימים בתוך המשטח איננו אפסי. אם כן, באמצעות ההגדרה של שטף חשמלי אנחנו יכולים להבדיל בין קווי שדה שיוצרים מטענים הנמצאים מחוץ למשטח לבין קווי שדה שיוצרים מטענים הנמצאים בתוכו. אנחנו גם מבינים מדוע המשטח צריך להיות סגור – אם הוא לא היה סגור, קווי שדה היו יכולים לחדור דרך המשטח ולצאת מבלי לעבור דרכו פעם נוספת.

אך זה לא הכול. כפי שאמרנו, שטף חשמלי העובר דרך משטח מסוים פרופורציוני למספר קווי שדה העוברים דרך המשטח. אך מספר קווי השדה פרופורציוני לגודל המטען. בכתיב מתמטי:

$$\Phi \propto n \propto q$$

כאשר $n$ – מספר קווי השדה העוברים דרך המשטח.

מכאן שאפשר לנסח את משפט גאוס כך:

שטף חשמלי הבוקע דרך משטח סגור פרופורציוני למטען הכלוא בתוך המשטח.

לפני שנמצא את מקדם הפרופורציה, נדון במקרה פרטי אותו כבר ניתחנו בצורה איכותית – משטח סגור ללא מטען בפנים – ונוכיח באופן כמותי כי כל מטען חיצוני לא תורם לשטף הכולל הבוקע דרך המשטח.

נתבונן בשני משטחים קטנים הנוצרים מחיתוך של משטח סגור כלשהו על ידי חרוט (איור 4).

charge_outside_gaussian_sphere

איור 4 – מטען מחוץ למשטח גאוסי לא יוצר שטף חשמלי

השטף דרך המשטח הראשון:

$$\Phi_1 = \vec{E_1} \cdot \vec{S_1} = – E_1 S_{1n}$$

ודרך השני

$$\Phi_2 = \vec{E_2} \cdot \vec{S_2} = E_2 S_{2n}$$

כאשר

$$|\vec{E_1}| = \frac{k q}{r_1^2}~~ , ~~ |\vec{E_2}| = \frac{kq}{r_2^2}$$

זה הזמן להיזכר בדמיון – יחס השטחים $S_{1n}$ ו-$S_{2n}$ שווה לריבוע יחס המרחקים שלהם מקודקוד החרוט, כלומר מהמטען $q$:

$$\frac{S_{1 n}}{S_{2 n}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$$

אבל מכאן נובע שמתקיים היחס הבא

$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{S_{1 n}}{S_{2 n}}$$

לכן

$$\Phi_1 = – \Phi_2\\
\Phi_1 + \Phi_2 = 0$$

אותו הדבר קורה עם כל שאר המשטחים הזעירים שמרכיבים את המשטח הכולל.

נחשב עכשיו את השטף החשמלי הבוקע דרך משטח כלשהו, כאשר בתוך המשטח יש מטען. נכתוב את קבוע קולון בצורה הבאה:

$$k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$$

נדמיין לעצמנו ספירה בעלת רדיוס $r$ שעוטפת את המטען (איור 5). באותה צורה כמו שהוכחנו קודם, גם כאן ניתן להוכיח ש-$\Phi_1 = \Phi_2$. כלומר השטף דרך הספירה שווה לשטף דרך המשטח הנתון.

charge_inside_gaussian_surface

איור 5 – מטען הכלוא בתוך משטח גאוסי

אולם את השטף שעובר דרך הספירה קל לחשב:

$$\Phi = E S = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

אנחנו רואים שהשטף הכולל דרך משטח סגור תלוי רק במטען שנמצא בתוכו ולא תלוי, למשל, ברדיוס. אם כן, נוכל לנסח את משפט גאוס גם כך:

שטף חשמלי הבוקע דרך משטח סגור שווה למטען הכלוא בתוך המשטח חלקי המקדם $\varepsilon_0$ (מקדם דיאלקטרי) ביחידות SI.

בצורה מתמטית:

$$\oint \vec{E} \cdot \vec{d S} = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

שימושים למשפט גאוס

בדרך כלל, משתמשים במשפט גאוס לחישוב שדות חשמליים. להבדיל משיטת הסופרפוזיציה שעוזרת לפתור הרבה בעיות שונות (אפילו יחסית קשות), השימוש במשפט גאוס למטרת חישוב שדות חשמליים מוגבל למספר מצומצם של בעיות בהן יש סימטריה מובהקת. אם אנחנו יודעים מראש את הכיוון של וקטור השדה החשמלי בכל נקודה שמעניינת אותנו, ואם ניתן לבחור משטח גאוסי כך שחישוב השטף החשמלי דרכו יהיה פשוט, אז אפשר ואף צריך להשתמש במשפט גאוס.

כידוע, לקח לניוטון די הרבה שנים להוכיח שכוח הכבידה הפועל על חלקיק מצד כדור (כמו כדה"א) לא ישתנה אם כל המסה של הכדור תידחס למרכזו. כדי להוכיח את זה באמצעות עקרון הסופרפוזיציה, הוא נאלץ לפתח את ענף החשבון האינטגרלי. כעת תראו כיצד בקלות אפשר לפתור בעיה כזאת באמצעות משפט גאוס. ניקח כדור הטעון במטען $q$ (באופן אחיד), ונחשב את גודל השדה החשמלי מחוץ לכדור במרחק $r$ ממרכזו (איור 6).

charged_ball

איור 6 – שדה שיוצר כדור טעון

משיקולי סימטריה ברור כי וקטור השדה החשמלי $\vec{E}$ מכוון בכל מקום בכיוון הרדיוס. השטף דרך ספירה בעלת רדיוס $r$ שווה

$$\Phi = E S = 4 \pi r^2 E$$

מצד אחר, לפי משפט גאוס

$$\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

מכאן מקבלים

$$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$$

שדה שיוצר כדור טעון מבחוץ זהה לשדה שיוצר מטען נקודתי הממוקם במרכז הכדור. כמובן שאותו הדבר נכון לגבי שדה הכבידה, כי גם כוח הכובד נמצא ביחס הפוך לריבוע המרחק.

מישור אינסופי טעון

נניח כי יש לנו מישור אינסופי טעון בעל צפיפות מטען שטחית $\sigma$ (איור 7). מסימטריה ברור כי בכל מקום, וקטור השדה החשמלי $\vec{E}$ מאונך למישור (תנאי האינסופיות של המישור מאפשר לנו להתעלם מאי-אחידות של השדה בקצות המישור).

infinite_charged_sheet

איור 7 – מישור אינסופי טעון

 

נבחר בתור משטח גאוסי גליל הממוקם בצורה סימטרית ביחס למישור. השטף החשמלי הבוקע דרך צידי הגליל שווה לאפס בעוד שדרך הבסיסים הוא שווה $E S$. לכן השטף הכולל

$$\Phi = 2 E S$$

משפט גאוס אומר לנו

$$\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$$

לפיכך

$$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$$

מוליך טעון

מלבד חישוב שדות חשמליים, משפט גאוס עוזר בהוכחה של תכונה חשובה מאוד של מוליכים. כידוע, עוצמת השדה החשמלי בתוך מוליך שווה לאפס. אם היא לא הייתה שווה לאפס, היינו מקבלים זרם חשמלי ללא כל השקעה של אנרגיה ממקור חיצוני, וזה בניגוד לחוק שימור האנרגיה. אבל אז אם ניקח כל משטח סגור בתוך מוליך, נקבל שהשטף דרכו יהיה שווה לאפס. לפי משפט גאוס, זה אומר שמטען הכלוא בתוך המשטח שווה לאפס. זה נכון כמובן לגבי כל משטח בתוך המוליך כי בכל מקום בתוך המוליך השדה החשמלי שווה לאפס. מכאן נובעת עובדה חשובה:

כל המטען של מוליך נמצא על השפה שלו.

כמה הערות

  • הוכחנו את העובדה שכל המטען של מוליך נמצא על שפתו באמצעות משפט גאוס. אולם הנכונות של משפט גאוס, כפי שכבר אמרנו, נובעת מהעובדה שבחוק קולון יש $1/r^2$. זאת אומרת שניתן להוכיח את נכונות חוק קולון בעזרת ניסוי שיאשר את התכונה הספציפית הזאת של המוליכים (מיקום המטענים על השפה).
  • חשוב להדגיש את העובדה שמשפט גאוס מדבר על שטף חשמלי ולא על משהו אחר. לפעמים, כאשר מחשבים שטף חשמלי ומקבלים אפס בתוצאה, מסיקים שגם השדה שווה לאפס. זה כמובן לא נכון. קחו מטען חשמלי נקודתי ודמיינו לעצמכם משטח גאוסי שלא עוטף את המטען – השטף החשמלי דרך המשטח יהיה שווה לאפס, אולם השדה בשום מקום במרחב לא יהיה שווה לאפס. כבר אמרנו למה זה קורה – קווי שדה אשר נכנסים למשטח גם יוצאים ממנו – דרך חלק אחד של המשטח בוקע שטף חשמלי חיובי בעוד שדרך החלק הנותר בוקע שטף חשמלי שלילי באותו הגודל. להבדיל מהדוגמאות שראינו, זוהי בעיה א-סימטרית, ולכן לא ניתן לקבוע בקלות את גודל השדה החשמלי בבעיה זו.

משפט גאוס למגנטיות

במגנטוסטטיקה, בדיוק כמו באלקטרוסטטיקה, מגדירים שטף מגנטי בתור מכפלה סקלרית של וקטור השדה המגנטי במשטח זעיר:

$$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S}$$

משפט גאוס הקודם אמר כי שטף חשמלי הבוקע דרך משטח סגור פרופורציוני למטען הכלוא בתוך המשטח. אילו היו קיימים בטבע מטענים מגנטיים (מונופול מגנטי), היינו יכולים לומר את אותו הדבר לגבי שטף מגנטי. אולם מפני שבשום ניסוי עד היום לא גילו מטען מגנטי, ניתן לנסח את משפט גאוס למגנטיות כך:

שטף מגנטי דרך משטח סגור תמיד שווה לאפס.

בכתיב מתמטי:

$$\oint \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0$$

לקווים של שדה מגנטי אין התחלה או סוף – הם נסגרים על עצמם (איור 8). לכן השטף המגנטי דרך כל משטח סגור שתבחרו בהכרח יהיה אפס – כל קו שדה מגנטי שיחדור אל תוך המשטח גם יצא ממנו.

magnetic_field_lines_examples

איור 8 – דוגמאות לשדות מגנטיים. שימו לב כי לקווי השדות אין התחלה או סוף


מבוסס על: מגזין "קוונט"

תמונה ראשית: Chad Weisshaar

3 תגובות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.