מערכות ייחוס לא אינרציאליות

מערכות ייחוס לא אינרציאליות

  • 1 בספטמבר, 2013
  • מכניקה קלאסית
  • אין תגובות

אנו רגילים לנתח בעיות במכניקה במערכות ייחוס אינרציאליות. כאשר גוף מקבל תאוצה ביחס למערכת ייחוס אינרציאלית, ניתן להצביע על גופים אחרים אשר גרמו לתאוצה זו כתוצאה מאינטראקציה כזאת או אחרת ביניהם. במאמר זה ננתח תנועה של גופים במערכות ייחוס לא אינרציאלית. אנו ניווכח כי במערכות כאלה, הגופים מקבלים תאוצה שלא ניתן להסבירה באמצעות השפעה של גופים אחרים. למשל, כאשר מזוודה נופלת ממדף בגלל בלימה חזקה של הרכבת, כלומר מקבלת תאוצה יחסית לקרון הרכבת, אנחנו לא יכולים להצביע על שום גוף ספציפי שמסר לה את התאוצה הזו. אך אם היינו קושרים את המזוודה למדף באמצעות חבל, באותה הסיטואציה של הבלימה, היא כבר לא הייתה מקבלת שום תאוצה ביחס לרכבת ולפיכך כבר לא הייתה נופלת, למרות שהיה פועל עליה כוח מצד החבל אשר היה נמתח במקרה זה. אם ננסה לנתח את המתרחש בדוגמה זו מצד מערכת ייחוס אינרציאלית (למשל, כדור הארץ), נוכל להסביר את התופעה הזאת באמצעות אינטראקציה בין גופית – החבל מוסר למזוודה תאוצה, השווה בגודלה לתאוטה של הרכבת, ולכן היא נשארת במנוחה יחסית לרכבת. בלי החבל, אין שום כוחות מצד הרכבת שפועלים על המזוודה ולכן היא ממשיכה להתמיד במצבה, כלומר המזוודה שומרת על מהירותה המקורית. הקרון לעומת זאת מאט כתוצאה מכוחות החיכוך הפועלים בין גלגליו לבין פסי הרכבת, ולכן רצפת הקרון בורחת מתחת למזוודה.

אנו רואים כי יש חוקיות אחרת לגמרי לתנועה במערכות ייחוס לא אינרציאליות. ההסבר של המתרחש על ידי צופה במערכת ייחוס לא אינרציאלית יהיה שונה מההסבר של המתרחש על ידי צופה במערכת ייחוס אינרציאלית. עכשיו ננסה להבין, מהו השוני בין החוקיות של התנועה מנקודת ראות של מערכות ייחוס אלו.

לשם פשטות, נניח כי מערכת הייחוס הלא אינרציאלית שנדון בה, נעה ביחס למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת בקו ישר, בתאוצה קבועה $w = \text{const}$ ובמשך פרק זמן לא ארוך מדי, כך שמהירות מערכת הייחוס הינה $v=wt \ll c$ (כאשר $c$ זאת מהירות האור).

נדמיין לעצמנו קרון יחסית ארוך שבתוכו יש מוט. על המוט יש כדור גדול אשר מסוגל לנוע ללא חיכוך לאורך המוט (איור 1). במאמר על מערכות ייחוס אינרציאליות, כבר אמרנו כי ניתן להתייחס אל כדור הארץ כאל מערכת אינרציאלית, לכן מערכת הייחוס $xyz$ הקשורה לכדור הארץ הינה אינרציאלית. נראה כעת איך ניתן להסביר את המתרחש בקרון מנקודת מבט של צופה במערכת ייחוס $x'y'z'$ הקשורה אל הקרון.

non-inertial-rf-1

איור מס' 1

כאשר הקרון נע בתאוצה $w$ ביחס לכדה"א, הכדור שבתוך הקרון נע לאורך המוט בתאוצה $a=-w$ יחסית לקרון עצמו. איך נסביר את המתרחש?

מנקודת מבט של צופה במערכת $xy$: על הכדור לא פועלים שום כוחות ולכן לפי החוק הראשון של ניוטון המהירות שלו נשארת קבועה, כלומר יחסית לכדה"א תאוצתו שווה לאפס. אולם הקרון נע יחסית לכדה"א בתאוצה $w$ ולכן ביחס לקרון הכדור נע בתאוצה
$$a=-w$$
מנקודת מבט של צופה במערכת $x'y'$: על הכדור לא פועלים שום כוחות ולמרות זאת, יחסית לקרון יש לו תאוצה $a$. לפיכך, במערכת הייחוס הצמודה אל הקרון החוק הראשון של ניוטון לא מתקיים: קיימת כאן תאוצה, שלא נגרמת על ידי שום כוח. הסיבה לכך היא שהקרון נע יחסית לכדה"א בתאוצה
$$w=-a$$
אם כן, במערכת ייחוס מואצת לא מתקיים חוק ההתמדה. לכן קוראים למערכת כזאת מערכת לא אינרציאלית.

כעת, נשנה קצת את הניסוי ונחבר את הכדור אל קפיץ הקשור מצידו האחד אל דופן הקדמית של הקרון (איור 2).

non-inertial-rf-2

איור מס' 2

כל עוד הקרון נח או נע בקו ישר ובמהירות קבועה יחסית לכדה"א, הקפיץ איננו מתוח. אך אם הקרון יתחיל להאיץ, הקפיץ יימתח וישמור על מצבו המתוח כל עוד הקרון מאיץ. הכדור יישאר במנוחה יחסית לקרון. ננסה לראות מה קורה כאן.

מנקודת מבט של צופה במערכת $xy$ (אינרציאלית): הכדור נח יחסית לקרון ולכן הוא נע יחד עם הקרון בתאוצה $w$ יחסית לכדה"א. אך לפי החוק השני של ניוטון התאוצה נגרמת בגלל כוח $F=mw$. זהו הכוח שמפעיל הקפיץ המתוח על הכדור:

$$F=k \Delta x=mw$$

מנקודת מבט של צופה במערכת $x'y'$ (לא אינרציאלית): הכדור נח יחסית לקרון למרות שהקפיץ מתוח ומפעיל עליו כוח $F=k \Delta x$. לפיכך, במערכת ייחוס הצמודה אל הקרון מופר החוק השני של ניוטון. הסיבה לכך היא שהקרון נע יחסית לכדה"א בתאוצה

$$w=\frac{F}{m}=\frac{k \Delta x}{m}$$

כוחות אינרציה

בפסקה הקודמת ראינו כי במערכות ייחוס לא אינרציאליות חוקי ניוטון לא מתקיימים. אולם ניתן לנסח כלל שיאפשר לנו באופן פורמלי להשתמש בחוק השני של ניוטון גם במערכות ייחוס לא אינרציאליות. בשביל זה נחזור לניסויים שהצגנו קודם וננסה להבין מהי החוקיות.

בניסוי הראשון למרות שהכדור לא נמצא באינטראקציה עם גופים אחרים, הוא עדיין נע בתאוצה $a=-w$ ביחס לקרון. כלומר הוא מתנהג כאילו פועל עליו כוח כלשהו

$$\mathbf{I}=m\mathbf{a}=-m\mathbf{w}$$

אשר מוסר לו את התאוצה הזאת.

בניסוי השני על הכדור פועל כוח אלסטי $\mathbf{F}=-k\mathbf{\Delta x}$ מצד הקפיץ, אך למרות זאת הכדור עדיין נשאר במנוחה יחסית לקרון. המצב הזה נותן תחושה שעל הכדור כביכול פועל עוד כוח $\mathbf{I}$ מלבד הכוח האלסטי $\mathbf{F}$ אשר מאזן אותו (איור 3). הגודל $\mathbf{I}=-m\mathbf{w}$, כאשר $\mathbf{w}$ זו תאוצת המערכת הלא אינרציאלית, נקרא כוח אינרציה או כוח מדומה.

non-inertial-rf-3

איור מס' 3

מושג הכוח המדומה מאפשר לנו לרשום את החוק השני של ניוטון עבור גוף במערכות לא אינרציאליות באופן הבא:
$$\mathbf{R}+\mathbf{I}=m\mathbf{a}$$
כאשר $\mathbf{R}$ – שקול הכוחות הנובעים מאיטראקציה בין גופי המערכת, $\mathbf{I}$ – כוח מדומה, $\mathbf{a}$ – תאוצת הגוף יחסית למערכת הלא אינרציאלית.
אם כן, נוכל לנסח את הכלל באופן הבא:

הסכום הווקטורי של כל כוחות האינטראקציה ושל הכוח המדומה שווה למכפלת המסה של הגוף בתאוצה שלו יחסית למערכת הייחוס הלא אינרציאלית.

נראה איך כלל זה עובד בדוגמה נוספת. נניח כי בתוך קרון אשר נע בתאוצה יחסית לכדה"א ישנו גוף בעל מסה $m$ התלוי על חוט. ניסויים מראים שכל עוד הקרון נע בתאוצה, החוט יוצר זווית $\alpha$ כלשהי עם האנך לתקרה. נחשב זווית זו תוך ניתוח המתרחש בשתי מערכות ייחוס.

מנקודת מבט של צופה במערכת אינרציאלית (כדור הארץ): מכיוון שהגוף נח יחסית לקרון, הוא נע יחד איתו בתאוצה $\mathbf{w}$ יחסית לכדה"א. תאוצה זו מוסר לו שקול של שני כוחות – כוח הכובד וכוח המתיחות של החוט (איור 4).

non-inertial-rf-4

איור מס' 4

על פי החוק השני של ניוטון מתקיים

$$\mathbf{F}=\mathbf{P}+\mathbf{T}=m\mathbf{w}$$

יחד עם זאת $\tan \alpha =\frac{F}{P}$. אם נציב $F=mw$ ו-$P=mg$, נקבל

$$\tan \alpha = \frac{mw}{mg}=\frac{w}{g}$$

מנקודת מבט של צופה במערכת לא אינרציאלית (קרון): מפני שהגוף נח ביחס לקרון, הסכום הווקטורי של כל הכוחות הפועלים עליו, כולל כוחות האינטראקציה והכוח המדומה, שווה לאפס. לפיכך, כוח הכובד, כוח המתיחות וכוח האינרציה יוצרים משולש וקטורי סגור (איור 5).

איור מס' 5

איור מס' 5

מהאיור ניתן לראות כי $\tan \alpha = \frac{I}{P}$. אם נציב $I=mw$ ו-$P=mg$, נקבל:

$$\tan \alpha = \frac{mw}{mg}=\frac{w}{g}$$

הייחודיות של כוחות אינרציה

לכוחות אינרציה יש תכונות חשובות המבדילות אותם מכוחות אחרים שאנו מכירים כמו כוח הכובד, כוח אלסטיות או כוח החיכוך.

  • כוח אינרציה איננו תוצר של אינטראקציה בין גופי המערכת אלא של תאוצת המערכת; לפיכך לא ניתן להפעיל את החוק השלישי של ניוטון כלפי כוחות אינרציה
  • אנו לא יכולים להצביע על גוף המפעיל כוח מדומה אלא רק על גוף עליו הכוח המדומה פועל
  • כוחות אינרציה מופיעים רק במערכות ייחוס לא אינרציאליות; אלא הם כוחות דמיוניים המאפשרים לנו להשתמש בחוקי ניוטון במערכות מואצות. כוחות האינרציה לא קיימים במערכות אינרציאליות
  • עבור כל מערכת של גופים הנמצאת במערכת ייחוס לא אינרציאלית, כוחות האינרציה הינם כוחות חיצוניים; לפיכך אין כאן מערכות סגורות, ולכן לא ניתן להשתמש בחוקי שימור (בין היתר, חוק שימור תנע הנובע מחוק שלישי של ניוטון אשר לא ניתן להשתמש בו כפי שציינו קודם)
  • כוח מדומה פועל על כל גוף במערכת לא אינרציאלית
  • כוח מדומה כמו כוח הכובד פרופורציוני למסה של הגוף עליו הוא פועל; לפיכך, בשדה כוחות האינרציה, בדיוק כמו בשדה כוח הכובד כל הגופים נעים עם אותה התאוצה, ללא תלות במסתם (כל הגופים נעים בתאוצה השווה לתאוצת המערכת אם אין גורם אחר המונע זאת)

מבוסס על: יבורסקי ב., פינסקי א. יסודות הפיזיקה כרך א' (2003) [עמ' 214-218]

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.