בעיות במכניקה ופתרונן (1.11.13)

  • 1 בנובמבר, 2013
  • מכניקה קלאסית
  • אין תגובות

כדור נזרק על ידי שחקן בזוית של 40 מעלות מעל הכיוון האופקי, ונתפס ע"י שחקן אחר במרחק של 26 מטרים מנקודת הזריקה, ובאותו גובה מעל הקרקע כמו גובה הזריקה.
א) מה היתה מהירות הכדור (גודל המהירות) ברגע הזריקה ?
ב) לאיזה גובה מקסימלי הגיע הכדור ביחס לגובה שממנו נזרק ?
ג) כמה זמן שהה הכדור באויר ?

א) נפרק את המהירות ההתחלתית לרכיבים ונבנה משוואת תנועה עבור כל ציר.

עבור ציר אנכי $y$ נבחר כיוון חיבוי כלפי מעלה. מכאן שוקטור המהירות האנכית ($v_{0_y}$) יהיה חיובי ווקטור תאוצת הכובד יהיה שלילי. נמדוד את המרחק בציר זה מהקרקע. משוואת התנועה תיהיה:

$$y=h+v_{0_y} t – \frac{g t^2}{2}$$

כאשר $h$ זה גובה ממנו נזרק הכדור, $v_{0_y}=v_0 \sin 40^{\circ}$ הרכיב האנכי של המהירות ההתחלתית ו-$g$ – תאוצת הכובד.

עבור ציר אופקי $x$ משוואת התנועה תיהיה:

$$x=v_{0_x} t$$

כאשר $v_{0_x}=v_0 \cos 40^{\circ}$ הרכיב האופקי של המהירות ההתחלתית.

אם נסמן ב-$L=26 \text{m}$ את הנקודה שבה הכדור נתפס, נוכל למצוא את הזמן שהוא היה באוויר לפי הנוסחה השנייה. כלומר:

$$t=\frac{L}{v_{0_x}}$$

הכדור נתפס באותו הגובה לכן משוואת התנועה בציר $y$ תיראה כך:

$$h=h+v_{0_y}t-\frac{gt^2}{2}$$

כאשר ה-$t$ מסמל את הזמן שהו שהה באוויר. אנו יודעים את הזמן הזה, לכן נציב אותו:

$$0=\frac{v_{0_y} L}{v_{0_x}}-\frac{g}{2} \frac{L^2}{v_{0_x}^2}=L \left(\tan 40^{\circ} – \frac{g L}{2 v_0^2 \cos^2 40^{\circ}} \right) $$

כלומר

$$2 v_0^2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}=g L$$

לפיכך המהירות ההתחלתית:

$$v_0=\sqrt{\frac{g L}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}}=16.09 \text{m/s}$$

ב) ניתן לגזור את הביטוי של המיקום האנכי של הכדור ולמצוא את נק' המקסימום ע"י השוואה לאפס (נגזרת של העתק זה מהירות – למצוא את נק' בה המהירות שלו מתאפס).

$$y'(t)=v_y(t)=v_0 \sin 40^{\circ} – gt = 0$$

לפיכך:

$$t=\frac{v_0 \sin 40^{\circ}}{g}$$

נציב את נק' הזמן הזאת במשוואה המקורית:

$$y=h+\frac{v_0^2 \sin^2 40^{\circ}}{g}-\frac{v_0^2 \sin^2 40^{\circ}}{2g}$$

יחסית לגובה שממנו העצם נזרק, הגובה המקסימלי יהיה:

$$y-h=\frac{v_0^2 \sin^2 40^{\circ}}{2g}=5.454 \text{m}$$

ג) בסעיף א) מצאנו ביטוי לזמן שהכדור שהה באוויר:

$$t=\frac{L}{v_0 \cos 40^{\circ}}=\frac{26 \text{m}}{16.09 \text{m/s} ~ \cos 40^{\circ}} \approx 2.11 \text{s}$$

אבן נזרקת כלפי מעלה במהירות 24 מ'/ש' מנקודה בגובה 5 מטרים מעל הקרקע. מהי הדרך שעשתה האבן בשלוש השניות הראשונות של התנועה?

לפי המשוואה הבאה:
$$\mathbf{v}=\mathbf{v_0}+\mathbf{a}t$$
מהירות האבן תתאפס בנק' זמן:
$$t_1=\frac{v_0}{g}=\frac{24}{9.8}\approx2.447 \text{s}$$

משוואת התנועה בציר האנכי $y$ (האבן נעה רק בציר זה):
$$y=24t-\frac{gt^2}{2}$$
(גובה אפס נבחר ב-5 מטרים מעל הקרקע).

עד נק' ההתאפסות של המהירות (הנק' המקסימלית אליה האבן מגיעה), ההעתק שקול לדרך שהאבן עוברת. לפיכך נציב את הזמן במשוואת התנועה בציר $y$:
$$y(t_1) \approx 29.37 \text{m}$$

הזמן הנוסף שבו האבן ירדה (ולכן גם עברה דרך) הוא:
$$t_2=3-t_1 \approx 0.55 \text{s}$$
נרכיב משוואת תנועה לדרך שהאבן עוברת משיא הגובה:
$$d=\frac{gt^2}{2}$$
נציב את $t_2$:
$$d(t_2)=1.498 \text{m}$$
סך כל הדרך שהאבן עברה בשלוש השניות הראשונות של תנועתה:
$$y(t_1)+d(t_2)=1.498 + 29.37 =30.868 \text{m}$$

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.